[論文レビュー] Spacetime is Right-handed

Peter Woit|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2023

Relativity and Gravitational Theory被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、右手系スピンルーパーのみを用いて時空をねじれ対称に定式化するものであり、ミンコフスキー時空が純虚時間方向を特徴とする4次元ユークリッド空間にウィック回転される。この右手系幾何における自己双対な2形式を用いてヤン・ミルズ理論および一般相対性理論の作用を構成することで、左隣スピンルーパーに内部 $SU(2)$ 対称性が現れる。これは、量子場理論における内部対称性の幾何的起源を示唆する。

ABSTRACT

We describe the relation between vectors and spinors in complex spacetime in an unconventional chirally asymmetric manner, using purely right-handed spinors, with Minkowski spacetime getting Wick rotated to a four-dimensional Euclidean spacetime with a distinguished direction. In this right-handed spinor geometry self-dual two-forms can be used to get chiral formulations of the Yang-Mills and general relativity actions. Euclidean spacetime left-handed spinors then transform under an internal $SU(2)$ symmetry, rather than the usual $SU(2)_L$ spacetime symmetry related by analytic continuation to the Lorentz group $SL(2,\mathbf C)$.

研究の動機と目的

• 従来の複素時空幾何とは異なり、時空ベクトルと接続を表すために右手系スピンルーパーのみを用いるねじれ対称な代替的幾何の探求。
• ミンコフスキー時空とユークリッド時空の間の解析接続が、純粋に右手系スピンルーパー形式でどのように再解釈できるかの調査。
• ユークリッド時空における $SU(2)_{L}$ 対称性が、時空対称性ではなく内部対称性に対応する可能性があるかの検討。これは、内部ゲージ群の起源を説明する手がかりとなる可能性がある。
• ユークリッド符号において、右手系スピンルーパーから構成された自己双対な2形式を用いてヤン・ミルズ理論および一般相対性理論の作用を再定式化すること。
• 標準模型の内部対称性が、右手系スピンルーパーに基づくユークリッド的定式化における時空対称性からどのように生じるかの幾何的枠組みの提案。

提案手法

• 右手系スピンルーパーから構成されるヘルミート $2\times2$ 行列を用いて時空ベクトルを表現し、従来の $SL(2,\mathbf{C})_{L} \times SL(2,\mathbf{C})_{R}$ 対称性の代わりに $SL(2,\mathbf{C})_{R}$ 動作用を用いる。
• 純虚時間を持つユークリッド時空へのウィック回転を実行し、$SL(2,\mathbf{C})_{R}$ の $SU(2)_{R}$ 部分群が接続空間に非自明に作用するが、$SU(2)_{L}$ は自明に作用する。
• 右手系スピンルーパーから構成された自己双対な2形式を用いて、ユークリッド符号におけるヤン・ミルズ理論および一般相対性理論のねじれ的作用を定式化する。
• 右手系スピンルーパーの対称積に値をとる $\Sigma$ を用いたアシュテカール型作用 $\int \Sigma^{\dot{A}\dot{B}} \wedge R_{\dot{A}\dot{B}}$ を用い、アインシュタイン方程式を導出する。
• 接続 bundle およびフレーム bundle の構造を右手系スピンルーパー表現で記述し、tetrad 1形式 $\theta$ が $\left(\frac{1}{2}\right)_{R} \otimes \left(\frac{1}{2}\right)_{R}$ に値をとることを示す。
• ユークリッドフレーム bundle の $SU(2)_{L}$ 対称性が時空に作用するのではなく、左隣スピンルーパーに内部対称性として作用する可能性を提案。これは、標準模型の電弱群に接続される可能性がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右手系スピンルーパーのみを用いたねじれ的スピンルーパー形式が、左隣スピンルーパーに依存せずにミンコフスキー時空およびユークリッド時空を一貫して幾何的に記述できるか。
• RQ2 右手系スピンルーパーのみを用いる場合、ミンコフスキー時空とユークリッド時空の間の解析接続は、従来とはどのように異なるか。
• RQ3 ユークリッド右手系形式における $SU(2)_{L}$ 対称性の物理的解釈は何か。これは、時空対称性ではなく内部対称性として作用する可能性があるか。
• RQ4 ヤン・ミルズ理論およびアインシュタイン方程式が、ユークリッド符号において右手系スピンルーパーから構成された自己双対な2形式のみを用いて再定式化可能か。
• RQ5 このねじれ対称な枠組みが、電弱理論における $SU(2)_{L}$ のような標準模型の内部対称性の幾何的起源を提供するか。

主な発見

• 本稿は、右手系スピンルーパーのみに依存する時空幾何を構築し、複素ローレンツ群が $SL(2,\mathbf{C})_{R}$ に置き換えられ、ウィック回転により純虚時間にすることでミンコフスキー計量が回復される。
• 得られたユークリッド時空において、$SL(2,\mathbf{C})_{R}$ の $SU(2)_{R}$ 部分群が接続空間に非自明に作用するが、$SU(2)_{L}$ は自明に作用するため、右手系構造が明確に区別される。
• 右手系スピンルーパーから構成された自己双対な2形式により、ユークリッド符号におけるヤン・ミルズ理論および一般相対性理論のねじれ的定式化が可能となり、接続空間の複素化を回避する。
• この形式において曲率2形式は $SU(2)_{R}$ のリー代数に値をとり、アインシュタイン方程式はアシュテカール型作用 $\int \Sigma^{\dot{A}\dot{B}} \wedge R_{\dot{A}\dot{B}}$ を変分することで導かれる。
• この枠組みにおける左隣スピンルーパーは、時空ローレンツ対称性ではなく内部 $SU(2)$ 対称性に従って変換され、内部ゲージ対称性の幾何的起源を示唆する。
• 本提案によれば、ユークリッド回転群の $SU(2)_{L}$ 対称性が時空回転に対応するのではなく、電弱 $SU(2)_{L}$ ゲージ対称性に対応する可能性があり、内部対称性の起源についての新たな視点を提供する。