[論文レビュー] Spacetime Meshing for Discontinuous Galerkin Methods

Thite, Shripad|ArXiv.org|Apr 7, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 74被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、不連続ガラーキン法に適した、非構造的で適応的である単体メッシュを (d+1)次元の時空領域に構築する、新規の先進フロント時空メッシュ生成アルゴリズムを提示する。コーン制約と二変数最適化を活用し、時空四面体の高さを最大化することで、一様な時間的アスペクト比を達成し、動的なメッシュの細分化と粗化を可能にするとともに、非線形的かつ異方的な挙動を示す偏微分方程式（PDE）の並列解法を可能にする。

ABSTRACT

Spacetime discontinuous Galerkin (SDG) finite element methods are used to solve such PDEs involving space and time variables arising from wave propagation phenomena in important applications in science and engineering. To support an accurate and efficient solution procedure using SDG methods and to exploit the flexibility of these methods, we give a meshing algorithm to construct an unstructured simplicial spacetime mesh over an arbitrary simplicial space domain. Our algorithm is the first spacetime meshing algorithm suitable for efficient solution of nonlinear phenomena in anisotropic media using novel discontinuous Galerkin finite element methods for implicit solutions directly in spacetime. Given a triangulated d-dimensional Euclidean space domain M (a simplicial complex) and initial conditions of the underlying hyperbolic spacetime PDE, we construct an unstructured simplicial mesh of the (d+1)-dimensional spacetime domain M x [0,infinity). Our algorithm uses a near-optimal number of spacetime elements, each with bounded temporal aspect ratio for any finite prefix M x [0,T] of spacetime. Our algorithm is an advancing front procedure that constructs the spacetime mesh incrementally, an extension of the Tent Pitcher algorithm of Ungor and Sheffer (2000). In 2DxTime, our algorithm simultaneously adapts the size and shape of spacetime tetrahedra to a spacetime error indicator. We are able to incorporate more general front modification operations, such as edge flips and limited mesh smoothing. Our algorithm represents recent progress towards a meshing algorithm in 2DxTime to track moving domain boundaries and other singular surfaces such as shock fronts.

研究の動機と目的

• 不連続ガラーキン（SDG）法のためのメッシュ生成アルゴリズムを開発し、不連続性を有する双曲型PDEの正確かつ効率的な解法を可能にする。
• 非線形的かつ異方的媒質に適応する非構造的時空メッシュの構築に際して、幾何学的および数値的安定性を維持する課題に対処する。
• 新規に追加された時空要素において即座に計算を開始できるようにすることで、PDEの段階的かつ並列的解法を可能にする。
• 動的細分化、粗化、エッジ反転、限定的スムージングを統合することで、メッシュの適応的細分化とフロント進展を統合する。
• 理論的保証として時間的アスペクト比とメッシュ品質を提供するとともに、適応的パラメータ選択による実用的改善を可能にする。

提案手法

• 時空メッシュ生成を、時空四面体の高さを最大化する二変数最適化問題として定式化し、時間的および空間的進展のバランスを取る。
• メッシュの面に勾配条件を課すためにコーン制約を用い、因果構造を保証するとともに、堅牢なフロント伝搬を実現する。
• テントピッチャー法にインspiredされた先進フロント手順を実装し、エッジ反転や限定的メッシュスムージングを含む動的フロント変更操作を拡張する。
• 非グリーディなフロント進展を導入し、隣接する面を粗化し、共面性を促進することで、将来のメッシュ品質を向上させる。
• エッジの拡張および収縮などの局所的メッシュ最適化技術を適用し、高品質な時空要素の数を増加させる。
• すべての要素が弱単体的複体であり、かつ少なくとも一つの因果的流出面を持つことを保証することで、メッシュの有効性を維持する（組み合わせ的変更に対しても）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形的かつ異方的PDE応答に適応する時空メッシュ生成は、どのようにして一様な時間的アスペクト比を維持しつつ実現可能か？
• RQ2 不連続ガラーキン法を用いた時空における双曲型PDEの効率的で段階的かつ並列化可能な解法を実現するためのアルゴリズム的メカニズムは何か？
• RQ3 将来の幾何的変化を予測する非グリーディなフロント進展戦略により、メッシュ品質を向上させることは可能か？
• RQ4 SDG法に適したメッシュにおいて、時空要素の数とそのアスペクト比の理論的上限は何か？
• RQ5 エッジ反転や粗化といったフロント操作を、動的領域境界およびショックフロントをサポートする先進フロントフレームワークに統合する方法は何か？

主な発見

• 本アルゴリズムは、有限時間の前缀 T に対して、d次元空間領域上に非構造的単体時空メッシュを構築し、ほぼ最適な要素数を達成する。
• すべての時空要素に対して一様な時間的アスペクト比が維持され、SDG法における数値的安定性が保証される。
• エッジ反転や限定的メッシュスムージングを含む動的細分化および粗化が可能であり、実用的な要素品質の向上を実現する。
• 同じ制約下でサイズ最適化メッシュに近い要素数であることが理論的に保証される。
• 限定的メッシュスムージングにより実用的品質が向上するが、高次元 d ≥ 3 においても、定数倍の要因で進捗が保証される。
• 実験的結果から、フロントの空間的投影品質を向上させることで、より高品質な時空要素が得られることを確認した。