[論文レビュー] Spacetime near Kerr isolated horizon

Jerzy Lewandowski, Carmen Li|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ホライズンの対称性がボリューム内にまで及ぶという仮定の下で、Kerr孤立ホライズンの近傍における時空計量を、Bondiに類似た座標系で、内在的ホライズンデータ（特に接続およびニューマン＝ペンローズのスピン係数π）を用いて体系的に計算する手法を提示する。主な貢献は、径方向展開の1次まででKerr-dSホライズン計量を明示的に導出したことであり、純粋なKerrの場合も1次まで計算されており、一般相対性理論における局所的ブラックホール研究の基盤的ツールを提供する。

ABSTRACT

The theory of isolated horizon provides a quasi-local framework to study the spacetime geometry in the neighbourhood of the horizon of a black hole in equilibrium without any reference to structures far away from the horizon. While the geometric properties of the Kerr-(A)dS and more general algebraically special solutions have drawn substantial interest recently in the isolated horizon formalism, their horizon metrics have never been written down explicitly in the adapted Bondi-like coordinate system. Following the approach by Krishnan and assuming that the horizon symmetry extends to certain order in the bulk, we present in this note a general method to compute the metric functions order by order radially in Bondi-like coordinates in 4-dimensions from a small set of intrinsic data -- the connection and the Newman-Penrose spin coefficient $π$ specified on the horizon cross-section. Applying this general method, we then present the horizon metric of non-extremal Kerr-dS in Bondi-like coordinates. For the pure Kerr case without a cosmological constant, we also show explicitly the metric functions to the first order.

研究の動機と目的

• Kerr孤立ホライズンの近傍における時空計量を、Bondiに類似た座標系で体系的かつ段階的に計算する方法を開発すること。
• 純粋な非極限Kerr-dSおよびKerrブラックホールの近ホライズン幾何を、接続およびニューマン＝ペンローズのスピン係数πというホライズンの内在的データのみを用いて再構成すること。
• ホライズンからの径方向距離の1次までで計量関数の明示的表現を提供し、全時空の構造や漸近的性質を仮定せずに局所的解析を可能にすること。
• ニューマン＝ペンローズ形式をガウスノルム座標系に適応させることで、孤立ホライズン枠組みを動的および宇宙論的状況（例：Kerr-dS）に拡張すること。

提案手法

• 本手法は、符号性(−, +, +, +)を有する4次元時空におけるニューマン＝ペンローズ形式を用い、特徴的初期値問題を活用して、ホライズン断面に与えられたデータから時空幾何を再構成する。
• ホライズン対称性（零ベクトル場によって生成）が径方向座標rの一定の次数までボリューム内にまで拡張可能であると仮定し、計量関数の再帰的計算を可能にする。
• 初期データは、2次元球面断面に誘導された計量と、ホライズン上に指定されたニューマン＝ペンローズのスピン係数πから成る。
• 本手法は、rの次数ごとにニューマン＝ペンローズ方程式およびバイアンチ恒等式を適用し、Bondiに類似た座標系における計量成分g_{vv}、g_{vθ}、g_{vφ}、g_{θθ}、g_{φφ}、g_{θφ}を決定する。
• 特異性のため、極限状態では手法が破綻するため、非極限ブラックホールに限定される。
• Kerr-dSに対しては、パラメータg = √(3/Λ)を用いて宇宙定数を組み込み、回転と宇宙定数が小さいと仮定する（a ≪ r₊, g ≪ r₊）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kerr孤立ホライズンの近傍における時空計量は、ホライズンの内在的データのみを用いて、Bondiに類似た座標系で体系的に再構成可能か？
• RQ2 ニューマン＝ペンローズ形式は、ホライズンデータから径方向方向に段階的に計量関数を計算するためにどのように適応可能か？
• RQ3 非極限Kerr-dSのホライズン計量の明示的形は、Bondiに類似た座標系でどのように表されるか？
• RQ4 孤立ホライズン枠組みは、宇宙定数や真空中でない解を含めるまでどの程度拡張可能か？
• RQ5 本手法が極限ブラックホールでは失敗するのはなぜか？これは近ホライズン幾何とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、ホライズンからの径方向距離rの1次までで有効な、Kerr-dSホライズン計量の最初の明示的表現が導出された。
• 純粋なKerrの場合、計量成分g_{vv}、g_{vθ}、g_{vφ}、g_{θθ}、g_{φφ}、g_{θφ}がすべてrの1次まで明示的に計算され、すべての成分がホライズンデータr₊、a、θで表された。
• 極限状態（a → r₊）において、g_{vv}のO(r)項は消えるが、表面重力が消えることに整合的であり、しかし完全な極限状態では1/(a² − r²₊)の特異性により特異的になる。
• 計量成分はニューマン＝ペンローズのスピン係数πに明示的に依存しており、これはホライズン上での回転1形式ω(ℓ)から導出される。これにより、πが基本的な幾何的入力であることが確認された。
• 本手法は、全時空や漸近的構造の知識を一切必要とせず、ホライズン断面のデータ（誘導計量とπ）のみを用いてホライズン幾幾何を成功裏に再構成した。
• 結果として、孤立ホライズン枠組みにニューマン＝ペンローズ形式とBondiに類似た座標系を組み合わせることで、ホライズン近傍におけるブラックホール時空の準局所的再構成が可能であることが示された。