[論文レビュー] Span, Cospan, and Other Double Categories

Susan Niefield|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、押し出しを備えた二重圏 𝔻 とその基底圏上のコスパンの二重圏の間の oplax/lax 隣接関手を特徴づけ、このような隣接関手が存在するのは 𝔻 が同伴、対同伴、および 1-余表象を備えるときであることを示している。右隣接関手は同伴と対同伴によって誘導され、左隣接関手は 1-余表象によって生じる。1-余表象は、対称代数と Artin-Wraith のはめ込みを一般化する。

ABSTRACT

Given a double category D such that D_0 has pushouts, we characterize oplax/lax adjunctions between D and Cospan(D_0) such that the right adjoint is normal and restricts to the identity on D_0, where Cospan(D_0) denotes the double category on D_0 whose vertical morphisms are cospans. We show that such a pair exists if and only if D has companions, conjoints, and 1-cotabulators. The right adjoints are induced by the companions and conjoints, and the left adjoints by the 1-cotabulators. The notion of a 1-cotabulator is a common generalization of the symmetric algebra of a module and Artin-Wraith glueing of toposes, locales, and topological spaces. Along the way, we obtain a characterization of double categories with companions and conjoints as those for which the identity functor on D_0 extends to a normal lax functor from Cospan(D_0) to D.

研究の動機と目的

• 二重圏 𝔻 とその基底圏上のコスパン二重圏の間の oplax/lax 隣接関手を特徴づけること。
• 右隣接関手が正規で、基底圏上で恒等関手に制限される場合に、このような隣接関手が存在するための必要十分条件を特定すること。
• 同伴、対同伴、および 1-余表象が、これらの隣接関手を誘導する構造的要素であることを示すこと。
• 対称代数や Artin-Wraith のはめ込みといった多様な構成を、1-余表象という概念の下で統一すること。

提案手法

• 論文は、押し出しを備えた二重圏の枠組みを用いて、op lax/lax 隣接関手を定義し、分析する。
• 対称代数とトポスや位相空間における Artin-Wraith のはめ込みを共通の一般化として与える 1-余表象の概念を導入する。
• 右隣接関手の構成は、二重圏 𝔻 内の同伴と対同伴に依存する。
• 左隣接関手は 1-余表象から構成され、ある特定の持ち上げ問題に対する普遍的解として機能する。
• このような隣接関手の存在と、二重圏 𝔻 内の同伴、対同伴、および 1-余表象の存在が同値であることを確立する。
• 結果を、可換環上の加群やトポスといった標準的例に適用し、それらが必要な構造を満たしていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重圏 𝔻 とその基底圏上のコスパン二重圏の間で、右隣接関手が正規で基底圏上で恒等関手に制限されるような oplax/lax 隣接関手が存在する条件は何か？
• RQ2 同伴、対同伴、および 1-余表象は、このような隣接関手の構造とどのように関係しているか？
• RQ3 1-余表象が、対称代数と Artin-Wraith のはめ込みをどのように一般化するのか、どのような意味でか？
• RQ4 このような隣接関手の存在を、二重圏の構造的性質のみを用いて特徴づけられるか？
• RQ5 このような隣接関手において、左および右隣接関手の標準的構成は存在するか？

主な発見

• op lax/lax 隣接関手が 𝔻 と CoSpan(𝔻₀) の間に、指定された性質を満たして存在するための必要十分条件は、𝔻 が同伴、対同伴、および 1-余表象を備えることである。
• このような隣接関手における右隣接関手は、𝔻 の対象の同伴と対同伴によって誘導される。
• 左隣接関手は 1-余表象によって誘導され、コスパンに関連するある持ち上げ問題に対する普遍的解として機能する。
• 1-余表象は、加群上の対称代数の構成と、トポス、局所的空間、および位相空間における Artin-Wraith のはめ込みを両方一般化する。
• Mod(V) のような二重圏では、隣接関手は同値を除いて一意であり、同伴、対同伴、および 1-余表象によって完全に決定される。
• 論文のリストに含まれるすべての例（例えば、加群の圏、トポス）にこの構成を適用でき、それらがこのような隣接関手を備えていることが確認される。