[論文レビュー] Spanning embeddings of arrangeable graphs with sublinear bandwidth

Julia Böttcher, Anusch Taraz+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、最大次数が $\sqrt{n}/\log n$ 未塔の $a$-arrangeable 図形に Bandwidth 定理を一般化し、最小次数 $\left(\frac{r-1}{r} + \gamma\right)n$ の稠密な図形がそのような図形の全域的コピーを含むことを証明する。主な貢献は、従来の有界次数図形にとどまらない埋め込み結果を、配置可能構造のための新規な Blow-up Lemma 変種を用いて拡張したことであり、平面図形や線形 Ramsey 数を有する表面埋め込み可能図形への応用を可能にする。

ABSTRACT

The Bandwidth Theorem of Böttcher, Schacht and Taraz [Mathematische Annalen 343 (1), 175-205] gives minimum degree conditions for the containment of spanning graphs H with small bandwidth and bounded maximum degree. We generalise this result to a-arrangeable graphs H with Δ(H)

研究の動機と目的

• 有界次数の仮定を $a$-arrangeability に置き換えることで、最大次数が無限大である可能性のある図形に対しても Bandwidth 定理を拡張すること。
• 最大次数 $\Delta(H) \leq \sqrt{n}/\log n$ かつ帯域幅が $\leq \beta n$ の $a$-arrangeable 図形 $H$ が、ホスト図形 $G$ に全域的コピーを含むための十分な最小次数条件を確立すること。
• 配置可能図形の構造的性質を活用して、平面図形や可定向曲面上に埋め込み可能な図形を含む、より広範な図形クラスへの埋め込み結果を一般化すること。
• 画像集合のエッジ数が少ない場合でも、$\varepsilon$-正則対に埋め込み可能な、洗練された Blow-up Lemma 変種の開発と応用。

提案手法

• 配置可能図形のための Blow-up Lemma の新規変種を用い、画像制限が疎である場合でも $\varepsilon$-正則対に埋め込み可能であるようにする。
• 正則性補題を用いてホスト図形 $G$ を $\varepsilon$-正則対を持つクラスタに分割し、縮小図形 $R$ を構成する。
• $a$-arrangeability を用いて近傍の重なりを制御することで、ターゲット図形 $H$ を $R$ の有界次数部分図形のブローモー卜にホモモーフィズムを構成する。
• 各クラスタの画像が $G$ のクラスタ内に収まるように保証するため、$\sqrt{n}/\log n$ の次数制限と $a$-arrangeability を用いて依存関係を制限する。
• $H$ の頂点順序の構造を活用して頂点を逐次埋め込み、正則性を保ちつつ、制御された近傍制約により衝突を避ける。
• Allen, Brightwell, and Skokan の技術を活用し、ほとんどすべての平面図形の Ramsey 数が $12|H|$ 未塔であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大次数が無限大であるが $a$-arrangeable で、帯域幅が $\leq \beta n$ である図形に対しても Bandwidth 定理を拡張できるか？
• RQ2 ホスト図形 $G$ にどのような最小次数条件を課すと、$\Delta(H) \leq \sqrt{n}/\log n$ かつ帯域幅が $\leq \beta n$ の $a$-arrangeable 図形 $H$ の全域的コピーが存在するか？
• RQ3 ほぼすべての $n$ 頂点からなる平面図形は、$12n$ 未塔の Ramsey 数を持つだろうか？
• RQ4 $\varepsilon$-正則対への埋め込みを可能にするように、$\varepsilon$-正則性を要求しない画像集合に対しても Blow-up Lemma を適合可能にできるか？
• RQ5 主定理における $\sqrt{n}/\log n$ の最大次数の上限はタイトなものか、それとも $o(n/\log n)$ に改善可能だろうか？

主な発見

• すべての $r, a \in \mathbb{N}$ および $\gamma > 0$ に対して、$\beta > 0$ および $n_0 \in \mathbb{N}$ が存在し、$\delta(G) \geq \left(\frac{r-1}{r} + \gamma\right)n$ を満たす $n$ 頂点の図形 $G$ は、$n$ 頂点で $\Delta(H) \leq \sqrt{n}/\log n$ かつ帯域幅が $\leq \beta n$ の $r$-彩色可能で $a$-arrangeable な図形 $H$ を含む。
• この結果により、最小次数が $\left(\frac{3}{4} + \gamma\right)n$ 以上の十分に大きな図形は、$n$ 頂点のすべての平面図形を部分図形として含む。
• ほとんどすべての平面図形 $H$ は、主定理の証明の技術を用いて、$12|H|$ 未塔の Ramsey 数を持つことが示された。
• 本稿では、画像集合が小さい場合でも $\varepsilon$-正則対に埋め込み可能な、$a$-arrangeable 図形のための新しい Blow-up Lemma 変種を確立した。これは、従来のバージョンの主要な制限を克服した。
• $\sqrt{n}/\log n$ の最大次数の上限は、証明手法に起因するものであり、最適ではない可能性がある。特に木の場合には $o(n/\log n)$ で十分である可能性がある。
• この結果は、固定された genus の可定向曲面上に埋め込み可能な図形にも拡張可能であり、同様の埋め込みおよび Ramsey 数の上限が得られる。