[論文レビュー] Spanning trees and line graph eigenvalues

Ebrahim Ghorbani|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2012

Graph theory and applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、グラフの全域木の数とそのラプラシアン行列および符号なしラプラシアン行列の固有値性質との間の関係を確立する。奇数個の頂点をもつグラフが、4で割り切れない全域木の数をもつならば、そのラプラシアン行列は偶数の整数固有値をもたず、符号なしラプラシアン行列は4で割った余りが2に等しい整数固有値をもたず、4で割った余りが0に等しい固有値は高々1つであり、それが単純固有値でなければならない。

ABSTRACT

For a graph $G$, let $L(G)$ and $Q(G)$ be the Laplacian and signless Laplacian matrices of $G$, respectively, and $ au(G)$ be the number of spanning trees of $G$. We prove that if $G$ has an odd number of vertices and $ au(G)$ is not divisible by $4$, then (i) $L(G)$ has no even integer eigenvalue, (ii) $Q(G)$ has no integer eigenvalue $\lambda\equiv2\pmod4$, and (iii) $Q(G)$ has at most one eigenvalue $\lambda\equiv0\pmod4$ and such an eigenvalue is simple. As a consequence, we extend previous results by Gutman and Sciriha and by Bapat on the nullity of adjacency matrices of the line graphs. We also show that if $ au(G)=2^ts$ with $s$ odd, then the multiplicity of any even integer eigenvalue of $Q(G)$ is at most $t+1$. Among other things, we prove that if $L(G)$ or $Q(G)$ has an even integer eigenvalue of multiplicity at least $2$, then $ au(G)$ is divisible by $4$. As a very special case of this result, a conjecture by Zhou et al. [On the nullity of connected graphs with least eigenvalue at least $-2$, Appl. Anal. Discrete Math. 7 (2013), 250--261] on the nullity of adjacency matrices of the line graphs of unicyclic graphs follows.

研究の動機と目的

• グラフの全域木の数とそのラプラシアンおよび符号なしラプラシアン行列の固有値の整数性に関する性質との関係を調査すること。
• Gutman, Sciriha, Bapatらによる線グラフの隣接行列のノルムに関する先行研究を拡張すること。
• 全域木の数の2進付値が、符号なしラプラシアン行列における偶数の整数固有値の重複度に与える影響を特定すること。
• Zhouらが提起した、サイクルをちょうど1つもつグラフの線グラフの隣接行列のノルムに関する予想を解明すること。

提案手法

• グラフ $ G $ のラプラシアン行列 $ L(G) $ および符号なしラプラシアン行列 $ Q(G) $ の構造を分析し、特にそれらの固有値を4を法として考える。
• 代数的グラフ理論および行列式の性質を用いて、全域木の数 $ \tau(G) $ を $ L(G) $ および $ Q(G) $ の固有値（特にその偶奇性および4による可除性）と関連付ける。
• 行列-木定理を適用して $ \tau(G) $ を $ L(G) $ の非ゼロ固有値の積として表現し、これにより固有値の合同類に関する制約を導出する。
• 特に4を法とする整数論的演算を固有値に適用し、$ \tau(G) $ が2の冪で可除であるかどうかに応じて、固有値の型を分類する。
• 全域木の数の2進付値 $ t $ を用いて、$ \tau(G) = 2^t s $（$ s $ は奇数）と表したとき、$ Q(G) $ における偶数の整数固有値の重複度の上限を $ t+1 $ として確立する。
• $ L(G) $ や $ Q(G) $ が重複度2以上の偶数の整数固有値をもつならば、$ \tau(G) $ は4で割り切れる必要があることを、スペクトル的および組合せ的議論を用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数個の頂点をもつグラフにおける全域木の数が、そのラプラシアン行列の固有値にどのような制約を課えるか。
• RQ2 符号なしラプラシアン行列が4を法として2に合同な固有値をもつのはどのような条件下か。
• RQ3 全域木の数の2進付値が、符号なしラプラシアン行列における偶数の整数固有値の重複度にどのように影響するか。
• RQ4 $ L(G) $ および $ Q(G) $ のスペクトル的性質を用いて、線グラフの隣接行列のノルムを境界づけたり特徴づけたりできるか。
• RQ5 $ L(G) $ や $ Q(G) $ に重複度2以上の偶数の整数固有値が存在する場合、全域木の数が4で割り切れる必要があるか。

主な発見

• グラフ $ G $ が奇数個の頂点をもち、$ \tau(G) $ が4で割り切れないならば、$ L(G) $ は偶数の整数固有値をもたない。
• 同じ条件下で、$ Q(G) $ は整数固有値 $ \lambda \equiv 2 \pmod{4} $ をもたない。
• $ \tau(G) $ が4で割り切れないならば、$ Q(G) $ は高々1つの固有値 $ \lambda \equiv 0 \pmod{4} $ をもち、その固有値は単純である。
• $ \tau(G) = 2^t s $（$ s $ は奇数）であるとき、$ Q(G) $ の任意の偶数の整数固有値の重複度は高々 $ t+1 $ である。
• $ L(G) $ または $ Q(G) $ が重複度2以上の偶数の整数固有値をもつならば、$ \tau(G) $ は4で割り切れる必要がある。
• 得られた結果は、Zhou らのサイクルをちょうど1つもつグラフの線グラフの隣接行列のノルムに関する予想を、一般の固有値制約の特別な場合として確認する。