[論文レビュー] Spanning Trees and Mahler Measure

Daniel S. Silver, Susan G. Williams|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2016

Graph theory and applications参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、cofinite free ℤ^d-対称性をもつ無限グラフの漸近的複雑度と、そのラプラシアン多項式の対数マラー測度との間の明確な関係を確立する。有限商におけるスパニングツリーの数の成長率が m(Δ) で与えられることを証明し、非ゼロのとき m(Δ(ℤ^d)) ≥ log 2 が成り立ち、d → ∞ のときの漸近的挙動として m(Δ(ℤ^d)) ∼ log(2d) であることを示す。

ABSTRACT

The complexity of a finite connected graph is its number of spanning trees; for a non-connected graph it is the product of complexities of its connected components. If $G$ is an infinite graph with cofinite free ${\mathbb Z}^d$-symmetry, then the logarithmic Mahler measure $m(Δ)$ of its Laplacian polynomial $Δ$ is the exponential growth rate of the complexity of finite quotients of $G$. It is bounded below by $m(Δ({\mathbb G}_d))$, where ${\mathbb G}_d$ is the grid graph of dimension $d$. The growth rates $m(Δ({\mathbb G}_d))$ are asymptotic to $\log 2d$ as $d$ tends to infinity. If $m(Δ(G)) e 0$, then $m(Δ(G)) \ge \log 2$. An application to determinant growth rates of families of alternating links arising from planar graphs is given.

研究の動機と目的

• cofinite free ℤ^d-対称性をもつ無限グラフの有限商におけるスパニングツリー数の漸近的成長率を特定すること。
• この成長率とグラフのラプラシアン多項式の対数マラー測度との間の厳密な関係を確立すること。
• このようなグラフにおける最小の非ゼロマラー測度を特定し、下界 log 2 を証明すること。
• 次元 d が増加する際のグリッドグラフ ℤ^d におけるマラー測度の漸近的挙動を分析すること。
• トポロジカルエントロピーとしての ℤ^d-作用を用いた、スパニングツリー複雑度の動的システム的解釈を提供すること。

提案手法

• 有限グラフ G の複雑度を、各連結成分におけるスパニングツリー数の積として定義する。
• キルホフの行列木定理を用いて、ラプラシアン行列 L の余因子を通じて τ(G) を計算する。
• cofinite free ℤ^d-作用をもつ無限グラフに対して、ラプラシアン多項式 Δ(G) を Laurent 多項式環 ℤ[x₁±¹,…,x_d±¹] 内で定義する。
• 対数マラー測度 m(Δ) を、d 次元トーラス上の積分から得られる漸近的複雑度の成長率として用いる。
• 代数的力学を用いて、m(Δ) を着色モジュールのポントリャーギン双対上の ℤ^d-作用のトポロジカルエントロピーとして解釈する。
• 不等式および積分恒等式（例：∫₀¹ log|sin(πθ)| dθ = −log 2）を用いて、下界と漸近的推定値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cofinite free ℤ^d-対称性をもつ無限グラフの有限商におけるスパニングツリー数の漸近的成長率は何か？
• RQ2 ラプラシアン多項式の対数マラー測度は、関連する ℤ^d-作用のトポロジカルエントロピーとどのように関係するか？
• RQ3 このようなグラフにおける m(Δ(G)) の最小の非ゼロ値は何か？ また、それは log 2 で下から抑えられているか？
• RQ4 次元 d が無限大に近づくとき、m(Δ(ℤ^d)) はどのように振る舞うか？
• RQ5 グリッドグラフ Δ(ℤ^d) のマラー測度は上界で抑えられ、漸近的に近似可能か？

主な発見

• ℤ^d-対称性をもつ無限グラフ G の有限商における漸近的複雑度の成長率は、正確に対数マラー測度 m(Δ(G)) に一致する。
• m(Δ(G)) ≠ 0 である任意の such グラフ G に対して、m(Δ(G)) ≥ log 2 が成り立ち、これは鋭い下界を示している。
• グリッドグラフ Δ(ℤ^d) のマラー測度は、d → ∞ のとき m(Δ(ℤ^d)) ∼ log(2d) を満たし、m(Δ(ℤ^d)) ≤ log(2d) である。
• 測度 m(Δ(ℤ^d)) は d 次元積分として与えられる：∫₀¹⋯∫₀¹ log|2d − ∑ᵢ₌₁^d 2cos(2πθᵢ)| dθ₁⋯dθ_d。
• d が大きいとき、差分 m(Δ(ℤ^d)) − log(2d) は、漸近展開と対称性の議論により 0 に近づく。
• 下界 log 2 は、2 本の辺軌道と1 つの頂点軌道からなるグラフにおいて達成され、ラプラシアン多項式が 4 − x − x⁻¹ − x^s − x⁻^s の形をとる。