[論文レビュー] Spanning trees in complete bipartite graphs and resistance distance in nearly complete bipartite graphs

Jun Ge, Fengming Dong|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2019

Graph theory and applications参考文献 22被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、完全二部グラフの古典的結果を拡張し、ほぼ完全二部グラフ $G(m,n,p) = K_{m,n} - pK_2$ における全域木の数および有効抵抗の正確な公式を導出する。電気回路理論とキルヒホッフの法則を用いて、マッチングや木を含む全域木に関するムーンの公式を一般化し、$G(m,n,p)$ のキルヒホッフ指数を計算する。その結果、$\tau(G(m,n,p)) = (mn - m - n + p)(mn - m - n)^{p-1}m^{n-p-1}n^{m-p-1}$ の閉形式が得られる。

ABSTRACT

Using the theory of electrical network, we first obtain a simple formula for the number of spanning trees of a complete bipartite graph containing a certain matching or a certain tree. Then we apply the effective resistance (i.e., resistance distance in graphs) to find a formula for the number of spanning trees in the nearly complete bipartite graph $G(m,n,p)=K_{m,n}-pK_2$ $(p\leq \min\{m,n\})$, which extends a recent result by Ye and Yan who obtained the effective resistances and the number of spanning trees in $G(n,n,p)$. As a corollary, we obtain the Kirchhoff index of $G(m,n,p)$ which extends a previous result by Shi and Chen.

研究の動機と目的

• 完全二部グラフにおけるムーンの全域木の公式を、固定されたマッチングや木を含む場合に一般化すること。
• $p \leq \min\{m,n\}$ を満たす $G(m,n,p) = K_{m,n} - pK_2$ におけるほぼ完全二部グラフの全域木の数を計算すること。
• 有効抵抗の公式を用いて、$G(n,n,p)$ におけるキルヒホッフ指数の計算を一般の $G(m,n,p)$ に拡張すること。
• ネットワーク簡略化と対称性を用いて、$G(m,n,p)$ のすべての頂点対間における有効抵抗を体系的に計算する手法を確立すること。

提案手法

• エッジを単位抵抗としてモデル化し、有効抵抗を指標とする電気回路理論を適用する。
• キルヒホッフの電流則および電圧則、オームの法則、直列・並列抵抗の法則を用いて抵抗関係を導出する。
• 定理2.4（有効抵抗と全域木比の関係）を用い、$R_{uv} = \tau(G/\{u,v\}) / \tau(G)$ を活用する。
• 定理5.3（頂点対抵抗恒等式）に基づき、対称性と連立一次方程式を用いて抵抗公式を導出する。
• $G(m,n,p)$ のすべての対間抵抗を求めるために、11個の未知数に対して8本の一次方程式の連立方程式を解く。
• $R_{x_i y_j}$ の抵抗公式を用いて、$\tau(G) = \tau(G/\{x_{p+1},y_{p+1}\}) / R_{x_{p+1}y_{p+1}}$ を通じて全域木の数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p \leq \min\{m,n\}$ のとき、$K_{m,n} - pK_2$ における全域木の数は何か？
• RQ2 欠落したマッチングの構造に応じて、$G(m,n,p)$ の頂点対間の有効抵抗はどのように依存するか？
• RQ3 全域木に森を含むムーンの公式を、固定されたマッチングまたは木を含む二部グラフに拡張できるか？
• RQ4 $G(m,n,p)$ のキルヒホッフ指数は何か？ これは $G(n,n,p)$ における既存の結果をどのように一般化するか？
• RQ5 特に、1つまたは両方の頂点が欠落したマッチングに属する場合、$G(m,n,p)$ の任意の2頂点間の正確な抵抗は何か？

主な発見

• $G(m,n,p) = K_{m,n} - pK_2$ における全域木の数は、$\tau(G(m,n,p)) = (mn - m - n + p)(mn - m - n)^{p-1}m^{n-p-1}n^{m-p-1}$ である。
• 同じ部分集合に属する頂点間の有効抵抗は、$i,j \in [p]$ の場合 $R_{x_i x_j} = \frac{2(m-1)}{mn - m - n}$、$i,j \in [m]\setminus[p]$ の場合 $\frac{2}{n}$、混合対の場合はより複雑な式となる。
• 欠落したマッチングに属する頂点 $x_i$ と $y_j$（$i=j \in [p]$）間の抵抗は $R_{x_i y_i} = \frac{m+n}{mn - m - n} - \frac{mn}{(mn - m - n)(mn - m - n + p)}$ である。
• $x_i \in [p]$、$y_j \in [n]\setminus[p]$ の非隣接頂点対間の抵抗は $R_{x_i y_j} = \frac{1}{m} + \frac{(p-1)(m-1)}{p(mn - m - n)} + \frac{(m-p)(m-1)}{pm(mn - m - n + p)}$ である。
• $G(m,n,p)$ のキルヒホッフ指数は、$m,n,p$ および $mn - m - n$ の有理関数を含む閉形式で与えられ、シとチェンの $m=n$ の結果を一般化する。
• 有効抵抗 $R_{uv}$ は電圧源の値に依存しないことが確認され、それがグラフの指標としての役割を果たすことが裏付けられた。