[論文レビュー] Sparks and Deterministic Constructions of Binary Measurement Matrices from Finite Geometry

Shu‐Tao Xia, Xinji Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2013

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限幾何学を用いた2つの決定的構成により、従来の手法よりも高いスパーク値を達成する二値測定行列の構築を提案する。LDPC符号との関連を活用することで、スパークの改善された下界を導出し、シミュレーションを通じて、スパース信号復元におけるOMPアルゴリズム下で、提案された行列がガウス確率的行列を上回ることを示している。

ABSTRACT

Abstract—For a measurement matrix in compressed sensing, its spark (or the smallest number of columns that are linearly dependent) is an important performance parameter. The matrix with spark greater than 2k guarantees the exact recovery of k-sparse signals under an l0-optimization, and the one with large spark may perform well under approximate algorithms of the l0-optimization. Recently, Dimakis, Smarandache and Vontobel revealed the close relation between LDPC codes and compressed sensing and showed that good parity-check matrices for LDPC codes are also good measurement matrices for compressed sensing. By drawing methods and results from LDPC codes, we study the performance evaluation and constructions of binary measurement matrices in this paper. Two lower bounds of spark are obtained for general binary matrices, which improve the previously known results for real matrices in the binary case. Then, we propose two classes of deterministic binary measurement matrices based on finite geometry. Two further improved lower bounds of spark for the proposed matrices are given to show their relatively large sparks. Simulation results show that in many cases the proposed matrices perform better than Gaussian random matrices under the OMP algorithm. Index Terms—Compressed sensing (CS), measurement matrix, l0-optimization, spark, binary matrix, finite geometry, LDPC codes, deterministic construction. I.

研究の動機と目的

• 一般の二値測定行列に対するスパークの下界を改善すること。
• 有限幾何学を用いた決定的二値測定行列の構成法を開発すること。
• 提案された行列クラスに対するより鋭いスパークの下界を確立し、より良いスパース信号復元を保証すること。
• 提案された行列の圧縮センシングにおける性能を評価すること、特にOMPアルゴリズム下での性能を対象とすること。
• 有限幾何学に基づく構成が、実用的な復元シナリオにおいて確率的ガウス行列を上回ることを示すこと。

提案手法

• 有限幾何学の組合せ構造、特に射影平面およびそのインシデント行列を用いて二値測定行列を構築する。
• LDPC符号と圧縮センシングの双対性を活用し、LDPC符号のパリティーチェック行列の設計原則を測定行列に転用する。
• 組合せ的および代数的性質に基づいて、任意の二値行列に対する2つの一般的なスパークの下界を導出する。
• 提案された有限幾何学に基づく行列の構造的正則性とスパarsityを活かして、特にその行列クラスに対する2つの改善されたスパークの下界を確立する。
• シミュレーションにおける再構成性能を評価するために、直交匹配 Pursuit (OMP) アルゴリズムを適用する。
• 同一のスパース信号復元条件下で、提案された決定的行列をガウス確率的行列と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限幾何学を用いて、圧縮センシングのための高スパークを持つ決定的二値測定行列を構築可能か？
• RQ2 提案された行列のスパークの下界は、一般または確率的二値行列に対する既存の下界と比べてどのように異なるか？
• RQ3 OMPアルゴリズム下で、提案された行列はガウス確率的行列をどの程度上回るか？
• RQ4 LDPC符号設計と高スパーク二値測定行列の構成との間にどのような関係があるか？
• RQ5 決定的構成は、実用的な圧縮センシング応用において、確率的構成と同等またはそれ以上の性能を達成可能か？

主な発見

• 提案された有限幾何学に基づく二値測定行列は、一般の二値行列に対するこれまでに知られていた境界を上回る高いスパーク値を達成している。
• 提案された行列クラスに対して、2つの改善されたスパークの下界が導出され、その強力な理論的性能保証が確認された。
• シミュレーション結果から、さまざまなスパースレベルにおいて、OMPアルゴリズム下での復元成功確率において、提案された行列がガウス確率的行列を上回ることが示された。
• 有限幾何学に基づく決定的構成により、構造的スパarsityと高スパークを持つ行列が得られ、信頼性の高いkスパース信号復元が可能になった。
• LDPC符号設計と圧縮センシングの間の関係が、設計原則の測定行列への成功した転用を通じて実証された。
• 提案された行列は、実用的復元タスクにおいて、競争的または優れた性能を示す決定的代替手法を提供している。