[論文レビュー] Sparse decompositions of nonlinear dynamical systems and applications to moment-sum-of-squares relaxations

Corbinian Schlosser, Milan Korda|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2020

Advanced Optimization Algorithms Research被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、因果的依存構造に基づく非線形力学系のスパース分解フレームワークを導入し、吸引領域（ROA）、最大正に不変集合（MPI）、グローバルアトラクターといった主要な集合の計算における次元削減を可能にする。サブシステムのスパarsityを活用することで、凸最適化を用いて収束を保証する低次元の平方和（SOS）緩和が実現され、半定値計画（SDP）のサイズを著しく縮小しながらも正確性を損なわない。

ABSTRACT

In this paper, we propose a general sparse decomposition of dynamical systems provided that the vector field and constraint set possess certain sparse structures, which we call subsystems. This notion is based on causal dependence in the dynamics between the different states. This results in sparse descriptions for fundamental problems from nonlinear dynamical systems: region of attraction, maximum positively invariant set, and global attractor. The decompositions can be paired with any method for computing (outer) approximations of these sets to reduce the computation to lower dimensional systems. This is illustrated by methods from previous work based on infinite-dimensional linear programming. This exhibits one example where the curse of dimensionality is present and hence dimension reduction is crucial. In this context, for polynomial dynamics, we show that these problems admit a sparse sum-of-squares (SOS) approximation with guaranteed convergence such that the number of variables in the largest SOS multiplier is given by the dimension of the largest subsystem appearing in the decomposition. The dimension of such subsystems depends on the sparse structure of the vector field and the constraint set; if the dimension of the largest subsystem is small compared to the ambient dimension, this allows for a significant reduction in the computation time of the SOS approximations. Numerical examples accompany the approach.

研究の動機と目的

• 非線形力学系における根本的な集合（吸引領域（ROA）、最大正に不変集合（MPI）、グローバルアトラクター（GA））を計算する際の次元の呪いに対処すること。
• 高次元系を因果的に独立したサブシステムに分解する一般化されたフレームワークを構築すること。
• サブシステムのスパarsityを活用しても、モーメント-平方和（SOS）緩和を適用する際の収束保証を維持すること。
• 座標に依存しない構造に配慮した手法を提供し、特定のソルバーに限定されない、収束性を有する任意の外部近似法に適用可能とすること。

提案手法

• ベクトル場および制約集合における因果的依存関係に基づきサブシステムを同定し、動的要因が因果的に分離される状態変数の部分集合を定義する。
• 各サブシステムが状態空間の因数分解を誘導する最小の部分集合に対応するグラフ構造を導入し、1つのサブシステム内の動的挙動が他のサブシステムに因果的に影響しないことを保証する。
• 走査交差性質と多項式動的系におけるスパarsityを活用し、最大のSOS乗数次元が最大サブシステムサイズに等しくなるように、スパースな平方和（SOS）緩和を構築する。
• 各サブシステムに対してモーメント-SOS階層を独立に適用し、外部からの収束を保証する。
• 本手法は一般性を有し、収束保証を持つ任意の外部近似法（例：無限次元線形計画、集合指向的手法）と互換性がある。
• インデックス集合のトポロジーを用いて分解を計算し、閉じた部分集合族の最小要素が状態空間の最も細かい因数分解を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形力学系における因果的スパarsityを活用して、収束保証を失うことなく高次元問題を低次元サブシステムに分解することは可能か？
• RQ2 吸引領域、MPI集合、グローバルアトラクターに対して、収束性を保ちながらどのようにスパースなSOS緩和を構築できるか？
• RQ3 ベクトル場および制約集合にどのような構造的条件が存在すれば、有効かつ最小のサブシステム分解が可能か？
• RQ4 モーメント-SOS階層をサブシステムに対して独立に適用しても、真の不変集合への収束性を維持できるか？
• RQ5 座標に依存しない構造に配慮した分解を用いて、力学系の半定値計画緩和における次元削減を達成できるか？

主な発見

• 本手法により、因果的に独立したサブシステムに分解することで、吸引領域、MPI集合、グローバルアトラクターに対する収束保証付きの低次元SOS緩和が実現される。
• SOS緩和における最大の半定値計画（SDP）は、全システムのサイズではなく最大サブシステムのサイズに依存するため、著しい計算コストの削減が可能となる。
• 本フレームワークは一般性を有し、モーメント-SOS階層や集合指向的手法を含む、収束保証を持つ任意の外部近似法に適用可能である。
• 分解は、閉じたインデックス集合族から導かれる状態変数の最小部分集合に基づき、状態空間の最も細かい因数分解を保証する。
• 本手法は、多項式の代数的スパarsityではなく、動的系における構造的スパarsityを活用することで、従来のスパarsity手法で見られる収束の喪失を回避する。
• 数値例により、真の不変集合への収束を維持しながらSDPのサイズを著しく削減できることを示している。