[論文レビュー] Sparse Fast Fourier Transform for Exactly and Generally K-Sparse Signals by Downsampling and Sparse Recovery

Sung-Hsien Hsieh, Chun-Shien Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ダウンサンプリングと複素数Bose-Chaudhuri-Hocquenghem（BCH）符号を用いたスパース復元を組み合わせることで、正確に $K$-スパースな信号に対して $O(K\log K)$ の計算量を達成する、新しいスパース高速フーリエ変換（sFFT）アルゴリズムを提案する。一般に $K$-スパースな信号に対しても $\max(O(K\log K), O(N))$ の計算量を達成し、高い復元確率と低い定数因子を実現しており、理論的およびシミュレーションの両面で先行するsFFT手法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

Fast Fourier Transform (FFT) is one of the most important tools in digital signal processing. FFT costs O(N \log N) for transforming a signal of length N. Recently, Sparse Fourier Transform (SFT) has emerged as a critical issue addressing how to compute a compressed Fourier transform of a signal with complexity being related to the sparsity of its spectrum. In this paper, a new SFT algorithm is proposed for both exactly K-sparse signals (with K non-zero frequencies) and generally K-sparse signals (with K significant frequencies), with the assumption that the distribution of the non-zero frequencies is uniform. The nuclear idea is to downsample the input signal at the beginning; then, subsequent processing operates under downsampled signals, where signal lengths are proportional to O(K). Downsampling, however, possibly leads to "aliasing." By the shift property of DFT, we recast the aliasing problem as complex Bose-Chaudhuri-Hocquenghem (BCH) codes solved by syndrome decoding. The proposed SFT algorithm for exactly K-sparse signals recovers 1-τfrequencies with computational complexity O(K \log K) and probability at least 1-O(\frac{c}τ)^{τK} under K=O(N), where c is a user-controlled parameter. For generally K-sparse signals, due to the fact that BCH codes are sensitive to noise, we combine a part of syndrome decoding with a compressive sensing-based solver for obtaining $K$ significant frequencies. The computational complexity of our algorithm is \max \left( O(K \log K), O(N) ight), where the Big-O constant of O(N) is very small and only a simple operation involves O(N). Our simulations reveal that O(N) does not dominate the computational cost of sFFT-DT.

研究の動機と目的

• 既存のスパース高速フーリエ変換（sFFT）アルゴリズムの限界、すなわち $N$-依存の演算と高いBig-O定数を解消すること。
• 均一な周波数分布下で正確に $K$-スパースな信号に対して理論的 $O(K\log K)$ 複雑さを達成するsFFTアルゴリズムの開発。
• BCH符号のノイズ感受性を緩和するため、 syndrome デコーディングと圧縮センシングを組み合わせることで、一般に $K$-スパースな信号に対しても同様の手法を拡張すること。
• $O(N)$ 項の計算オーバーヘッドを低く保つことにより、実際の計算コストに支配的にならないようにすること。
• 従来のsFFT手法が抱える複雑なパrameterチューニングと高い定数因子を回避できる、シンプルで実装可能なアルゴリズムの開発。

提案手法

• 信号長を $O(K)$ にまで短縮するために、初期段階でダウンサンプリングを適用し、計算負荷を低減する。
• DFTシフト性を用いて、ダウンサンプリングによって生じる aliasing を、複素数BCH符号の syndrome デコーディング問題に再定式化する。
• 正確に $K$-スパースな信号に対しては、複素数BCH符号の syndrome デコーディングを用いて、$1-\tau$ の周波数を高い確率で回復する。
• 一般に $K$-スパースな信号に対しては、部分的 syndrome デコーディングと圧縮センシングに基づくソルバーを組み合わせ、BCH符号のノイズ感受性を緩和する。
• 相関モーメントから周波数位置と振幅を求めるために、モーメントに基づく多項式の根を求め方（行列式を用いる）を用いる。
• DFTの構造とシフト不変性を活用し、 aliasing をエラー訂正符号問題にマッピングすることで、効率的な回復を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ダウンサンプリング followed でBCH符号によるスパース復元が、正確に $K$-スパースな信号に対して $O(K\log K)$ の複雑さを達成できるか？
• RQ2 スパースフーリエ変換の文脈において、ダウンサンプリングによる aliasing を効果的に管理できるか？
• RQ3 提案手法を一般に $K$-スパースな信号に拡張可能か？ その際、計算複雑さを低く保てるか？
• RQ4 提案されたsFFTフレームワークにおいて、復元確率と計算コストのトレードオフは何か？
• RQ5 複雑さ分析における $O(N)$ 項が実用的性能に与える影響は何か？ また、これを最小限に抑えることは可能か？

主な発見

• 正確に $K$-スパースな信号に対する提案sFFTは、$O(K\log K)$ の計算複雑さを達成し、復元確率が $1 - O\left(\frac{c}{\tau}\right)^{\tau K}$ 以上である。ここで $c$ はユーザーが制御可能なパrameterである。
• 一般に $K$-スパースな信号に対しては、syndrome デコーディングと圧縮センシングを組み合わせ、$\max(O(K\log K), O(N))$ の複雑さを達成し、$O(N)$ 項のBig-O定数は非常に小さい。
• シミュレーションにより、実際の計算コストにおいて $O(N)$ 項が支配的にならないことが確認され、理論的複雑さ分析の妥当性が裏付けられた。
• アルゴリズムは実装が容易であり、従来のsFFT手法が抱える複雑なパrameterチューニングと高い定数因子を回避している。
• 本手法は、復元性能に関する強い理論的保証を提供し、理論的複雑さと実測速度の両面で、既存のsFFTアルゴリズムを上回る。
• 複素数BCH符号の使用により、効率的な aliasing 解決が可能となり、モーメントに基づく根の求め方により、低レートのサンプルから正確な周波数と振幅推定が可能になった。