[論文レビュー] Sparse Gröbner Bases: the Unmixed Case

Jean‐Charles Faugère, Pierre-Jean Spaenlehauer+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 31被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、特にすべての多項式が同じニュートンポリトープを持つアンミックスド・ケースにおいて、スパースな多項式系の記号的解法を高速化するため、半群代数におけるスパース・グレブナー基底を導入する。ニュートンポリトープの組合せ的性質を活用するF5およびFGLMのスパース版を提案し、実験では100倍を超える高速化を達成し、ポリトープの体積、正則性、エーリヒャー多項式に依存する複雑性の上限を提示する。

ABSTRACT

Toric (or sparse) elimination theory is a framework developped during the last decades to exploit monomial structures in systems of Laurent polynomials. Roughly speaking, this amounts to computing in a \emph{semigroup algebra}, \emph{i.e.} an algebra generated by a subset of Laurent monomials. In order to solve symbolically sparse systems, we introduce \emph{sparse Gröbner bases}, an analog of classical Gröbner bases for semigroup algebras, and we propose sparse variants of the $F_5$ and FGLM algorithms to compute them. Our prototype "proof-of-concept" implementation shows large speed-ups (more than 100 for some examples) compared to optimized (classical) Gröbner bases software. Moreover, in the case where the generating subset of monomials corresponds to the points with integer coordinates in a normal lattice polytope $\mathcal P\subset\mathbb R^n$ and under regularity assumptions, we prove complexity bounds which depend on the combinatorial properties of $\mathcal P$. These bounds yield new estimates on the complexity of solving $0$-dim systems where all polynomials share the same Newton polytope (\emph{unmixed case}). For instance, we generalize the bound $\min(n_1,n_2)+1$ on the maximal degree in a Gröbner basis of a $0$-dim. bilinear system with blocks of variables of sizes $(n_1,n_2)$ to the multilinear case: $\sum n_i - \max(n_i)+1$. We also propose a variant of Fröberg's conjecture which allows us to estimate the complexity of solving overdetermined sparse systems.

研究の動機と目的

• スパースな多項式系の効率的アルゴリズムの開発を目的とし、半群代数を用いた単項式構造の利用。
• 非密な単項式サポートを持つ系に古典的グレブナー基底法を適用する際の計算ボトル neck を解消すること。
• ニュートンポリトープの内在的組合せ的不変量に依存するスパース・グレブナー基底計算の複雑性上限を確立すること。
• スパース・グレブナー基底理論を用いて、二変数系の既知の次数上限を、多次元系へ一般化すること。
• 過剰決定なスパース系における複雑性を推定するため、フローベルグの予想の変種を提案すること。

提案手法

• 有限部分集合 $M \subset \mathbb{Z}^n$ により生成されるアフィン半群 $S$ を持つ半群代数 $k[S]$ におけるスパース・グレブナー基底を定義する。
• $(\alpha,1)$ for $\alpha \in M$ により生成されるホモジーナス半群 $S^{(h)}$ を持つ同次代数 $k[S^{(h)}]$ において、スパース版MatrixF5アルゴリズムを導入し、スパース・グレブナー基底を計算する。
• モノミアル写像を介してスパース・グレブナー基底を有理関数の一変数表現に変換するためのスパース版FGLMアルゴリズムを開発する。
• 削減済みスパース・グレブナー基底における最大のスパース次数を示す「ワーニング次数」を、複雑性の主要指標として用いる。
• ニュートンポリトープ $\mathscr{P}$ の組合せ的不変量、特に正規化体積 $\operatorname{vol}(\mathscr{P})$、カステルヌオヴォ＝ムーアフィード正則性 $\operatorname{reg}(k[S^{(h)}])$、エーリヒャー多項式 $\operatorname{HP}_{\mathscr{P}}(\ell)$ を活用し、複雑性推定を導出する。
• 正則性仮定の下で、$\mathscr{P} \cap \mathbb{Z}^n$ に含まれる支持を持つ系にアルゴリズムを適用し、正しさと効率性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ニュートンポリトープの構造を活用することで、スパース多項式系におけるグレブナー基底計算をどのように高速化できるか？
• RQ2 正則格子ポリトープ $\mathscr{P}$ の組合せ的不変量に依存するスパース・グレブナー基底計算の複雑性上限は何か？
• RQ3 古典的な二変数系の次数上限 $\min(n_1,n_2)+1$ は、スパース・グレブナー基底を用いて多次元系へ一般化可能か？
• RQ4 実際の応用において、F5およびFGLMのスパース版は、それらの古典的版をどの程度上回るか？
• RQ5 過剰決定なスパース系の解法における複雑性を、ワーニング次数を用いて予測できるように、フローベルグの予想の修正版を提案できるか？

主な発見

• スパース-MatrixF5およびスパース-FGLMアルゴリズムは、実際の実験で古典的F5（FGb）と比較して100倍を超える高速化を達成し、一部の例では19,000倍以上の改善を示した。
• ニュートンポリトープ $\mathscr{P}$ を持つアンミックスド・ケースにおいて、ワーニング次数は商環のヒルベルト系列における最初の非正係数によって上限づけられ、二変数系の境界 $\min(n_1,n_2)+1$ を多次元系における $\sum n_i - \max(n_i) + 1$ へ一般化する。
• スパース・グレブナー基底計算の複雑性上限は、正規化体積 $\operatorname{vol}(\mathscr{P})$、カステルヌオヴォ＝ムーアフィード正則性 $\operatorname{reg}(k[S^{(h)}]) = n+1 - \ell$、およびエーリヒャー多項式 $\operatorname{HP}_{\mathscr{P}}(\ell)$ に依存する。
• 提案されたフローベルグの予想の変種は、$\mathbb{C}[\mathscr{P}]$ 内の半正則列が、ヒルベルト系列 $\operatorname{HS}_{\mathbb{C}[\mathscr{P}]/\langle f_1,\ldots,f_m \rangle}(t) = \left[ \operatorname{HS}_{\mathscr{P}}(t) \prod_{i=1}^m (1 - t^{d_i}) \right]_+$ を与えると予測し、ワーニング次数は最初のゼロ係数のインデックスによって上限づけられる。
• スパース単項式サポートを持つフェューノミアル系では、非正則半群のため複雑性解析が適用されないものの、スパースアルゴリズムは正しく動作し、最大16,800倍の高速化を達成した。
• スパースFGLMを用いて得られた有理関数の一変数表現は、解を1変数多項式 $Q(T)$ の根として表現し、単項式 $X^\alpha$ を有理関数 $Q_\alpha(T)$ に写像する。これにより、効率的な解の回復が可能となる。