[論文レビュー] Sparse graphs without linear anticomplete pairs

Maria Chudnovsky, Alex Scott+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意のスパースグラフは、与えられたグラフ H の誘導部分分割を含むか、辺のない2つの線形サイズの頂点集合を含むことを確立している。その結果、大きなクリークや安定集合を含まないグラフは、H またはその補グラフの誘導部分分割を含む必要があり、これはスパースグラフにおけるErdos-Hajnal予想を進展させる。

ABSTRACT

We prove that for every graph H there exists c>0 such that, for every graph G, if G has no clique or stable set of size |G|^c, then either G or its complement contains an induced subdivision of H. This follows from a stronger result for sparse graphs which says, roughly, that every sparse graph contains either an induced subdivision of H or two linear-sized sets of vertices with no edges between them. These results are related to the Erdos-Hajnal conjecture.

研究の動機と目的

• 誘導部分グラフとの関連においてスパースグラフの構造的性質を調査すること。
• 固定されたグラフ H の誘導部分分割に注目することで、Erdos-Hajnal予想に取り組むこと。
• スパースグラフにおける二分岐を確立すること：誘導H-部分分割が存在するか、または2つの大きな独立集合が存在する。
• G またはその補グラフに誘導H-部分分割が存在する必要があること、大規模なクリークや安定集合を含まないグラフについて証明すること。

提案手法

• 極値的グラフ理論的手法を用いてスパースグラフを分析し、構造的二分岐を同定すること。
• 頂点集合を大規模な独立ペアに分割する分解論法を適用するか、誘導H-部分分割を検出すること。
• 帰納法と密度に基づく議論を用いて、G におけるクリークや安定集合の成長を制御すること。
• スパース設定におけるErdos-Hajnal性質を活用し、誘導部分分割の存在を導出すること。
• 大規模な同質的集合の不在を、誘導部分グラフを好む構造的制約に翻訳すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのスパースグラフは、固定されたグラフ H の誘導部分分割を含むか、または辺のない2つの線形サイズの独立集合を含むか？
• RQ2 Erdos-Hajnal予想は、大きなクリークや安定集合を含まないグラフにおける誘導部分分割へ拡張可能か？
• RQ3 大きな同質的集合を避ける場合、スパースグラフにどのような構造的二分岐が現れるか？
• RQ4 大きなクリークや安定集合が存在しない場合、G またはその補グラフに誘導H-部分分割が強制的に現れる仕組みは何か？

主な発見

• 任意のグラフ H に対して、c > 0 が存在し、|G|^c のサイズのクリークや安定集合を含まない任意のグラフ G は、G またはその補グラフに H の誘導部分分割を含む。
• スパースグラフでは、誘導H-部分分割が存在するか、または辺のない2つの線形サイズの頂点集合が存在する。
• この結果は、すべてのグラフ H に対して一様に成り立つ構造的二分岐を提供する。
• 証明により、|G|^c のある c > 0 に対して、独立数またはクリーク数の定量的バウンドが確立される。