[論文レビュー] Sparse Identification of Nonlinear Dynamics with Control (SINDYc)

Steven L. Brunton, Joshua L. Proctor+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2016

Model Reduction and Neural Networks参考文献 27被引用数 71

ひとこと要約

本論文は、外部入力およびフィードバック制御を伴う非線形力学系を扱うスパース同定手法SINDYcを提案する。SINDYフレームワークを拡張し、スパース回帰を用いて入力依存項を含むようにしたもので、制御入力を伴うデータから支配方程式を正確に同定する。ローレンツ系およびロトカ・ヴォルテラ系ですべての条件下で機械精度に回復を達成している。

ABSTRACT

Identifying governing equations from data is a critical step in the modeling and control of complex dynamical systems. Here, we investigate the data-driven identification of nonlinear dynamical systems with inputs and forcing using regression methods, including sparse regression. Specifically, we generalize the sparse identification of nonlinear dynamics (SINDY) algorithm to include external inputs and feedback control. This method is demonstrated on examples including the Lotka-Volterra predator--prey model and the Lorenz system with forcing and control. We also connect the present algorithm with the dynamic mode decomposition (DMD) and Koopman operator theory to provide a broader context.

研究の動機と目的

• 外部入力および制御信号を含む非線形力学系を同定するSINDYアルゴリズムの拡張を目的とする。
• データ駆動型モデリングにおいて、制御入力の影響と内在的システムダイナミクスの影響を明確に区別することを目的とする。
• DMD、DMDc、およびクープマン作用素理論を一般化する回帰ベースのフレームワークを、入力付き非線形系に適用することを目的とする。
• 学習中に観測されていない新しい制御入力に対するシステム応答の正確な予測を可能にすることを目的とする。
• 高次元で非線形的かつマルチスケールな制御付きシステムにおけるシステム同定にスケーラブルかつスパースな回帰手法を提供することを目的とする

提案手法

• SINDYの候補非線形項のライブラリを、状態変数**x**と制御入力**u**の両方の関数に拡張し、x_i * u_jのような混合項を含める。
• スパース回帰（Lasso型最適化）を用い、時間微分データを最もよく適合する最小の非線形項の集合を同定する。スパarsityと精度のバランスをとる。
• 時間分解能のある状態測定値から有限差分法またはその他の数値微分法を用いてd**x**/dtを推定することで、連続時間系に適用する。
• 制御入力を支配方程式に組み込む形で、d**x**/dt = **f**( **x**, **u** )と定式化し、**f**を**x**および**u**の基底関数のスパースな組み合わせとしてモデル化する。
• 制御入力に加法的ノイズまたは摂動を加えることで、フィードバック制御状況下でも、制御の影響と内部ダイナミクスの影響を明確に区別する。
• SINDYcをクープマン作用素理論およびDMDcと関連づけ、これらがすべてデータからの回帰ベースのシステム同定の特殊ケースであることを示す

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパースな非線形ダイナミクス同定（SINDY）は、外部入力およびフィードバック制御を伴う系に拡張可能か？
• RQ2 データ駆動型モデリングにおいて、制御入力と内在的システムダイナミクスの影響をどのように区別できるか？
• RQ3 SINDYcは、駆動力および状態フィードバック制御を伴う非線形系の支配方程式を同定する性能はいかがなものか？
• RQ4 制御入力が存在するが無視される状況において、SINDYcは標準SINDYと比べてどのように異なるか？
• RQ5 SINDYcは、学習時に使用されていない新しい制御入力に一般化可能か？

主な発見

• SINDYcは、外部駆動を伴うロトカ・ヴォルテラ系の真の支配方程式を、ノイズのない条件下で機械精度に同定した。
• 外部駆動（g(u) = u³）を伴うローレンツ系において、SINDYcは非線形入力項を正しく回復し、高い忠実度でシステム挙動を予測した。
• フィードバック制御状況（例：u(t) = 26 - x(t) + d(t)）では、SINDYcは制御則とダイナミクスを正確に同定したが、標準SINDYは混同効果のため失敗した。
• 20時間単位の制御付きデータで学習した後、SINDYcは学習時に観測されていなかった新しい周期的駆動（u(t) = 50 sin(10t)）に対するシステム応答を正しく予測した。
• 制御入力に加法的ホワイトノイズを組み込むことで、制御効果と内部ダイナミクスの影響を効果的に区別でき、モデルの同定可能性が向上した。
• ローレンツ系に制御を加えた状況でも、SINDYcは機械精度のパrameter回復を達成し、現実的なデータ条件下でも高いロバスト性と正確性を示した。