[論文レビュー] Sparse Index Tracking Based On $L_{1/2}$ Model And Algorithm

Fengmin Xu, Zongben Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ポートフォリオのスパarsityとサンプル外性能を向上させるために $L_{1/2}$ 正則化を用いた新しいスパースインデックストラッキングモデルを提案する。カードナリティ制約の代わりに $L_{1/2}$ ノルム制約を採用し、ハイブリッド半スレッショルド化アルゴリズムを用いることで、特に $N > 1000$ ストックを含む大規模インデックス問題において、$L_1$ ベースの手法に比べて低いトラッキングエラーと高い一貫性を達成する。

ABSTRACT

Recently, $L_1$ regularization have been attracted extensive attention and successfully applied in mean-variance portfolio selection for promoting out-of-sample properties and decreasing transaction costs. However, $L_1$ regularization approach is ineffective in promoting sparsity and selecting regularization parameter on index tracking with the budget and no-short selling constraints, since the 1-norm of the asset weights will have a constant value of one. Our recent research on $L_{1/2}$ regularization has found that the half thresholding algorithm with optimal regularization parameter setting strategy is the fast solver of $L_{1/2}$ regularization, which can provide the more sparse solution. In this paper we apply $L_{1/2}$ regularization method to stock index tracking and establish a new sparse index tracking model. A hybrid half thresholding algorithm is proposed for solving the model. Empirical tests of model and algorithm are carried out on the eight data sets from OR-library. The optimal tracking portfolio obtained from the new model and algorithm has lower out-of-sample prediction error and consistency both in-sample and out-of-sample. Moreover, since the automatic regularization parameters are selected for the fixed number of optimal portfolio, our algorithm is a fast solver, especially for the large scale problem.

研究の動機と目的

• インデックストラッキングにおける予算制約および空売禁止制約下で、$L_1$ 正則化がスパarsityを促進する点に限界があることを解決すること。
• 低サンプル外予測誤差と高い一貫性を維持する、より効果的なスパースインデックストラッキングモデルの開発。
• 大規模インデックストラッキング問題に適した、高速かつ効率的なソルバの設計。
• カードナリティ制約を $L_{1/2}$ ノルム制約に置き換えることで、スパarsityと最適化効率の向上。
• OR-library から得た実世界のデータセット、特に S&P 500 や Russell 3000 のような大規模インデックスを含む、モデルの性能検証。

提案手法

• カードナリティ制約の代わりに $L_{1/2}$ ノルム制約 $\|w\|_{1/2}^{1/2} = K$ を課すことで、新しいスパースインデックストラッキングモデルを定式化。
• $L_{1/2}$ 正則化問題の高速ソルバとして、ハイブリッド半スレッショルド化アルゴリズムを採用。最適な正則化パラメータ選択を活用。
• 半スレッショルド化作用素から導出されたスレッショルド戦略を用い、スパarsityを促進しながら解の正確性を維持。
• 予算制約および空売禁止制約の下で最適化問題を解くためにアルゴリズムを適用し、現実的なポートフォリオ構築を保証。
• 手動チューニングなしで性能を向上させるために、自動正則化パラメータ選択を導入。
• 8つの OR-library データセット（最大2151銘柄を含む大規模インデックスを含む）を用いてモデルを検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L_{1/2}$ 正則化は、予算制約および空売禁止制約下で、$L_1$ 正則化に比べてスパarsityの促進とサンプル外トラッキングエラーの低減において優れているか。
• RQ2 ハイブリッド半スレッショルド化アルゴリズムは、スパースインデックストラッキングの既存手法に比べ、収束が速く、解の品質が優れているか。
• RQ3 本モデルは、S&P 500 や Russell 3000 のような大規模インデックスを含む、さまざまなインデックスサイズにおいて、一貫性と予測誤差の観点でどのように性能を発揮するか。
• RQ4 $L_{1/2}$ ベースのモデルは、$L_1$ ベースのモデルに比べて、より少ないトラッキング銘柄で同等またはより優れた性能を達成できるか。
• RQ5 本アルゴリズムは、数千の資産を含む大規模インデックストラッキング問題においてスケーラブルで効率的か。

主な発見

• $L_{1/2}$ モデルは、$L_1$ モデルに比べてサンプル外予測誤差が低く、さまざまなインデックスおよび $K$ 値において $SupO$ 値が 0.44% から 37.18% の範囲で変動した。
• ハンガリー・セング指数では、$K=5$ ストックの $L_{1/2}$ モデルが、$K=10$ ストックの $L_1$ モデルと同等のサンプル外誤差を達成し、スパarsity効率が優れていることを示した。
• S&P 500（$N=457$）では、$K=10$ 時に $L_{1/2}$ モデルが $L_1$ モデルに比べて最大26.88%のサンプル外誤差低減を達成した。
• Russell 3000（$N=2151$）では、$K=50$ 時に $L_{1/2}$ モデルが $L_1$ モデルに比べて1.44%のサンプル外誤差改善を達成し、$SupO=1.44".$ ,
• ハイブリッド半スレッショルド化アルゴリズムは、最適な正則化パラメータ選択戦略のおかげで、特に大規模問題において高速な収束と高い効率性を示した。
• モデルは高いインサンプルおよびサンプル外の一貫性を維持しており、$L_{1/2}$ ベースのポートフォリオは $L_1$ ベースの代替手法に比べ、より高い安定性と低いトランジションを示した。