[論文レビュー] Sparse Phase Retrieval: Uniqueness Guarantees and Recovery Algorithms

Kishore Jaganathan, Samet Oymak+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2013

Advanced X-ray Imaging Techniques被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$2n$-点DFTを用いて、グローバル位相、タイムシフト、複素共役反転を除き、$O(n^{1/2-\rho})$-スパース信号を一意に復元できる2段階のスパース位相復元アルゴリズム（TSPR）を提案する。この手法は、周期的でないサポートを持つ信号が、ほぼすべてのケースで一意に復元可能であることを証明し、ノイズ下でも$O(n^{1/4-\rho})$-スパース信号に対してロバストな復元を示している。

ABSTRACT

The problem of signal recovery from its Fourier transform magnitude is of paramount importance in various fields of engineering and has been around for over 100 years. Due to the absence of phase information, some form of additional information is required in order to be able to uniquely identify the signal of interest. In this work, we focus our attention on discrete-time sparse signals (of length $n$). We first show that, if the DFT dimension is greater than or equal to $2n$, almost all signals with {\em aperiodic} support can be uniquely identified by their Fourier transform magnitude (up to time-shift, conjugate-flip and global phase). Then, we develop an efficient Two-stage Sparse Phase Retrieval algorithm (TSPR), which involves: (i) identifying the support, i.e., the locations of the non-zero components, of the signal using a combinatorial algorithm (ii) identifying the signal values in the support using a convex algorithm. We show that TSPR can {\em provably} recover most $O(n^{1/2-\eps})$-sparse signals (up to a time-shift, conjugate-flip and global phase). We also show that, for most $O(n^{1/4-\eps})$-sparse signals, the recovery is {\em robust} in the presence of measurement noise. Numerical experiments complement our theoretical analysis and verify the effectiveness of TSPR.

研究の動機と目的

• DFT次元が$2n$以上である場合、非周期的サポートを持つスパース位相復元のユニークネス保証を確立すること。
• サポート検出と振幅復元を分離する効率的な2段階アルゴリズム（TSPR）を開発すること。
• TSPRの理論的復元保証を、ノイズなしおよびノイズありの両設定で提供すること。
• TSPRが、$O(n^{1/2-\rho})$-スパース信号のほとんどを、そして$O(n^{1/4-\rho})$-スパース信号をノイズ下でも実際に復元できることを示すこと。
• 決定的特徴付けが困難であることを踏まえ、確率的解析を用いて復元可能な信号の集合を特徴付けること。

提案手法

• 2段階の手法を採用：まず、組み合わせ的アルゴリズムによりスパース信号のサポート（非ゼロ位置）を特定する。
• 次に、自己相関制約を用いて、特定されたサポート内での信号値を凸最適化プログラムで復元する。
• エッジが測定可能な自己相関ペアを表すグラフ理論的構成$H(U)$を信号値復元に用いる。
• ノイズ下での自己相関制約の下でトレースを最小化するための半定値計画法を適用し、ロバストネスを確保する。
• ランダム部分集合$V$に整数ペアが存在する確率的バウンドを用いて、復元成功確率を分析する。
• AM-GM不等式および正定値性制約を用いて、回復行列の対角成分における誤差バウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的でないサポートを持つスパース信号が、そのフーリエ振幅からいつ一意に復元可能か。
• RQ2 2段階のアルゴリズムが、$2n$-点DFT測定値から$O(n^{1/2-\rho})$-スパース信号を実際に復元可能か。
• RQ3 復元は加法的ノイズに対してどの程度ロバストか。TSPRが安定性を保つスパースレベルは何か。
• RQ4 ランダム信号モデル下で、復元アルゴリズムの成功確率はどの程度か。
• RQ5 復元誤差はノイズレベルと信号スパース度の関数としてバウンド可能か。

主な発見

• 長さ$n$のほぼすべての非周期的サポートを持つ信号は、$2n$-点DFT振幅から、グローバル位相、タイムシフト、複素共役反転を除き一意に復元可能である。
• ノイズなしの状況下で、TSPRアルゴリズムは$O(n^{1/2-\rho})$-スパース信号のほとんどを実際に復元可能である（$\rho > 0$）。
• ノイズ下では$O(n^{1/4-\rho})$-スパース信号に対し、TSPRがロバストに復元可能であり、復元誤差は$O(k^2 \eta^2)$でバウンドされる（$k$はスパース度、$\eta$はノイズレベル）。
• $n$が増加するに従い、TSPRの成功確率は1に近づく。これは、スパース信号においてグラフ$H(U)$がクリークになる確率が非常に高くなるためである。
• 回復信号値の誤差は$||\mathbf{X}^\dagger - \mathbf{x}_0\mathbf{x}_0^\star||_2^2 \leq 16k^2\eta^2$でバウンドされ、ノイズ下でも安定性が保証される。
• 理論的保証は漸近的かつ確率的であり、信号サポートとノイズのランダムモデルに依存している。