[論文レビュー] Sparse Portfolio Selection via Quasi-Norm Regularization

Caihua Chen, Xindan Li+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2013

Risk and Portfolio Optimization参考文献 21被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、$β$-ノルム正則化モデルを用いてスパースなポートフォリオ選択を提案し、内点法を用いて多項式時間で近似の2次のKKT解を計算する。スパースネスと射影シャープレシオの理論的関係を確立し、$β$-ノルム正則化がMarkowitzモデルと同等のリスクとリターンを達成しながら所望のスパースネスを実現できることを示す。また、適切なレバレッジと正則化の組み合わせにより、スパースネスが過学習を間接的に緩和することを示す。

ABSTRACT

In this paper, we propose $\ell_p$-norm regularized models to seek near-optimal sparse portfolios. These sparse solutions reduce the complexity of portfolio implementation and management. Theoretical results are established to guarantee the sparsity of the second-order KKT points of the $\ell_p$-norm regularized models. More interestingly, we present a theory that relates sparsity of the KKT points with Projected correlation and Projected Sharpe ratio. We also design an interior point algorithm to obtain an approximate second-order KKT solution of the $\ell_p$-norm models in polynomial time with a fixed error tolerance, and then test our $\ell_p$-norm modes on S&P 500 (2008-2012) data and international market data.\ The computational results illustrate that the $\ell_p$-norm regularized models can generate portfolios of any desired sparsity with portfolio variance and portfolio return comparable to those of the unregularized Markowitz model with cardinality constraint. Our analysis of a combined model lead us to conclude that sparsity is not directly related to overfitting at all. Instead, we find that sparsity moderates overfitting only indirectly. A combined $\ell_1$-$\ell_p$ model shows that the proper choose of leverage, which is the amount of additional buying-power generated by selling short can mitigate overfitting; A combined $\ell_2$-$\ell_p$ model is able to produce extremely high performing portfolios that exceeded the 1/N strategy and all $\ell_1$ and $\ell_2$ regularized portfolios.

研究の動機と目的

• 期待リターンと分散共分散行列のノイズの影響によるMarkowitzの平均分散モデルにおける過学習の問題に対処すること。
• 取引コストと管理の複雑さを低減するスパースなポートフォリオを理論的根拠に基づき生成する手法を開発すること。
• KKT点のスパースネスと金融リスク調整リターン指標（例：射影シャープレシオ）との関係を確立すること。
• 非凸な$β$-ノルム正則化モデルに対して、近似の2次のKKT解を多項式時間で計算する内点法を設計すること。
• スパースネスが直接的に過学習を減少させないが、適切な正則化とレバレッジの組み合わせにより間接的に緩和されることを実証的に検証すること。

提案手法

• スパースネスを誘導するための$β$-ノルム正則化最適化モデルを定式化し、$0 < p < 1$とする。
• 2次のKKT点がスパースであるための理論的条件を導出し、スパースネスを射影相関係数と射影シャープレシオに結びつける。
• 予測子補正ステップを備えた内点法を提案し、$O(\u03b5^{-3/2})$回の反復で$ε$スケーリングされた2次のKKT解に収束することを保証する。
• 適応的罰則パラメータ$λ$を用いたバリア法とラインサーチ戦略を採用し、妥当性を維持するとともに収束を改善する。
• 過学習の緩和におけるレバレッジの役割を調査するため、$Ø$-ノルムと$β$-ノルムの組み合わせモデルを導入する。
• 非凸な$β$-ノルムペナルティに対処するため、修正されたヘッセ行列近似を用いた減衰ニュートン法を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $β$-ノルム正則化が、正則化なしのMarkowitzモデルと同等のリスクとリターンを達成するスパースなポートフォリオを生成できるか？
• RQ2 KKT点のスパースネスは、射影シャープレシオのような金融パフォーマンス指標とどのように関係しているか？
• RQ3 スパースネスが過学習を直接減少させるのか、それとも他のモデルパラメータを通じて間接的に影響を与えるのか？
• RQ4 内点法が非凸な$β$-ノルム正則化モデルに対して、高品質な近似の2次KKT解を効率的に計算できるか？
• RQ5 $Ø$-ノルムまたは$Ø$-ノルムと$β$-ノルムの組み合わせ正則化が、ポートフォリオパフォーマンスと過学習に与える影響は何か？

主な発見

• $β$-ノルム正則化モデルは、任意の所望のスパースネスレベルを達成しつつ、カーディナリティ制約付きMarkowitzモデルと同等のポートフォリオ分散とリターンを維持する。
• スパースネス自体が過学習を直接減少させるのではなく、レバレッジと正則化構造の選択によって間接的に過学習を緩和する。
• $Ø$-$\u03b2$モデルの組み合わせにより、適切なレバレッジ選択がスパースポートフォリオにおける過学習を顕著に緩和できることを示す。
• $Ø$-$\u03b2$モデルは、アウトオブサンプルパフォーマンスにおいて1/N戦略およびすべての$Ø$-および$β$-正則化ポートフォリオを上回る。
• 内点法は、固定誤差許容範囲下で$O(\u03b5^{-3/2})$回の反復で$ε$スケーリングされた2次のKKT解を計算し、多項式時間収束を保証する。
• 理論的分析により、KKT点のスパースネスが射影相関係数と射影シャープレシオに関連していることが確認され、正則化効果に金融的解釈が与えられる。