[論文レビュー] Sparse sum-of-squares certificates on finite abelian groups

Hamza Fawzi, James Saunderson+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限アーベル群上の非負関数が、フーリエ基底においてスパースである場合に、スパースな平方和（SOS）証明を有するための組合せ的条件を確立する。フーリエ補集合に関連するケイリー代数的グラフのチャーディナル被覆を構築することにより、SOS表現のスパarsityに関する明示的な上限が得られ、任意の非負二次形式は $ℋ_2^n$ 上で、次数が $⌈ n/2 \rceil$ 以下の関数の平方和として表現可能であることを証明する。また、$ℋ_N$ 上の次数$d$の非負関数は、$3d\log(N/d)$個のフーリエ係数をもつSOS証明を有することが示される。

ABSTRACT

Let G be a finite abelian group. This paper is concerned with nonnegative functions on G that are sparse with respect to the Fourier basis. We establish combinatorial conditions on subsets S and T of Fourier basis elements under which nonnegative functions with Fourier support S are sums of squares of functions with Fourier support T. Our combinatorial condition involves constructing a chordal cover of a graph related to G and S (the Cayley graph Cay($\hat{G}$,S)) with maximal cliques related to T. Our result relies on two main ingredients: the decomposition of sparse positive semidefinite matrices with a chordal sparsity pattern, as well as a simple but key observation exploiting the structure of the Fourier basis elements of G. We apply our general result to two examples. First, in the case where $G = \mathbb{Z}_2^n$, by constructing a particular chordal cover of the half-cube graph, we prove that any nonnegative quadratic form in n binary variables is a sum of squares of functions of degree at most $\lceil n/2 ceil$, establishing a conjecture of Laurent. Second, we consider nonnegative functions of degree d on $\mathbb{Z}_N$ (when d divides N). By constructing a particular chordal cover of the d'th power of the N-cycle, we prove that any such function is a sum of squares of functions with at most $3d\log(N/d)$ nonzero Fourier coefficients. Dually this shows that a certain cyclic polytope in $\mathbb{R}^{2d}$ with N vertices can be expressed as a projection of a section of the cone of psd matrices of size $3d\log(N/d)$. Putting $N=d^2$ gives a family of polytopes $P_d \subset \mathbb{R}^{2d}$ with LP extension complexity $ ext{xc}_{LP}(P_d) = Ω(d^2)$ and SDP extension complexity $ ext{xc}_{PSD}(P_d) = O(d\log(d))$. To the best of our knowledge, this is the first explicit family of polytopes in increasing dimensions where $ ext{xc}_{PSD}(P_d) = o( ext{xc}_{LP}(P_d))$.

研究の動機と目的

• 有限アーベル群上の非負関数が、フーリエ基底においてスパースである場合に、それもまたスパースな平方和（SOS）証明を有する条件を同定すること。
• 任意のフーリエ補集合 $ℋ$ をもつ非負関数が、フーリエ補集合 $ℋ$ をもつ関数の平方和であるような、フーリエ補集合 $ℋ$ と $ℋ$ の間の組合せ的条件を同定すること。
• 一般枠組みを $ℋ_2^n$ や $ℋ_N$ といった特定の群に適用し、SOS証明の明示的スパarsity上限を導出すること。
• 明示的な多面体族を構成し、線形計画法（LP）の拡張複雑性が超線形的であり、半正定値計画法（SDP）の拡張複雑性が二次未塔であることを示し、両者の間の分離を示すこと。
• ラウレンスの予想、すなわち $ℋ_2^n$ 上の非負二次形式に対するSOS証明の次数に関する予想を解決すること。

提案手法

• 双対群 $ℋ$ とフーリエ補集合 $ℋ$ からケイリー代数的グラフ $ℋ(ℋ, ℋ)$ を構築する。ここで、各辺は $ℋ$ の要素の差をとる文字の間を結ぶ。
• ケイリー代数的グラフ $ℋ(ℋ, ℋ)$ のチャーディナル被覆 $ℋ$ を構築する。各最大クリークは $ℋ$ の部分集合 $ℋ$ に対応する。
• 各最大クリーク $ℋ$ に対して、代表元 $\chi_{ℋ} \in \u210B$ を選び、その平行移動集合 $\chi_{ℋ}\u210B$ を定義し、集合 $\u210B(\u210B, \{\chi_{ℋ}\})$ を構成する。
• チャーディナルスパarsityパターンをもつスパースな正定値行列の分解を用いて、任意のフーリエ補集合 $ℋ$ をもつ非負関数が、$ℋ$ にサポートされたSOS表現を有することを保証する。
• フーリエ基底における文字の代数的構造を活用し、グラフ理論的チャーディナル被覆と代数的SOS分解との関係を確立する。
• 一般結果を二つの主要なケースに適用する：$G = \u210B_2^n$ に対しては、半立方体グラフの再帰的三角形分割を用い、$G = \u210B_N$ に対しては、$N$-サイクルグラフの $d$ 乗の三角形分割を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対群 $\u210B$ の部分集合 $\u210B$ と $\u210B$ に対して、組合せ的条件が満たされるのはどのような場合か？ その条件下で、フーリエ補集合 $\u210B$ をもつ任意の非負関数が、フーリエ補集合 $\u210B$ をもつ関数の平方和として表現可能である。
• RQ2 $\u210B_2^n$ 上の非負二次形式に対するSOS証明の次数は有界であるか？ もしそうならば、最小の次数は何か？
• RQ3 $\u210B_N$ 上の次数 $d$ の非負関数に対して、SOS証明に必要なフーリエ係数の最小数は何か？
• RQ4 ケイリー代数的グラフのチャーディナル被覆の構成は、特定の多面体の拡張複雑性に関する明示的上限を導くことができるか？
• RQ5 線形計画法（LP）の拡張複雑性よりも、半正定値計画法（SDP）の拡張複雑性が漸近的に小さい多面体族が存在するか？

主な発見

• 任意の非負二次形式は、$ℋ_2^n$ 上で、次数が $⌈ n/2 \rceil$ 以下の関数の平方和として表現可能であり、これはラウレンスの予想を裏付ける。
• $\u210B_N$ 上の次数 $d$ の非負関数（$d$ が $N$ を割り切るとき）に対して、本稿では、そのような関数が高々 $3d\log(N/d)$ 個の非ゼロフーリエ係数をもつSOS証明を有することを証明する。
• この構成により、$\u210B^{2d}$ 内の $N$ 個の頂点をもつ巡回多面体は、半正定値計画法の拡張複雑性が $O(d\log(N/d))$ であることが示される。
• $N = d^2$ のとき、得られる多面体は線形計画法の拡張複雑性が $\Omega(d^2)$、半正定値計画法の拡張複雑性が $O(d\log d)$ であるため、$\operatorname{xc}_{\text{PSD}}(P_d) = o(\operatorname{xc}_{\text{LP}}(P_d))$ が成立する。
• これは、次元が増加する中で、SDP拡張複雑性がLP拡張複雑性よりも漸近的に小さい最初の明示的多面体族を提供する。
• 2進数または3進数の展開に基づく周波数を用いた $N$-サイクルグラフの再帰的三角形分割により、$N$ に関して対数的スパarsityを持つチャーディナル被覆の族が得られる。