[論文レビュー] Sparsity and Parallel Acquisition: Optimal Uniform and Nonuniform Recovery Guarantees

Il Yong Chun, Chen Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、異なるまたは同一の測定行列を用いる複数センサーの圧縮センシングにおいて、可縮信号の最適な一様および非一様回復保証を確立する。センサーのプロファイル行列が任意であっても、スパarsity $ s $ に比例する測定数の線形スケーリングが、特に同一の測定を用いる状況におけるスパースかつ分散信号モデルにおいて、最適な回復を可能にすることが示された。

ABSTRACT

The problem of multiple sensors simultaneously acquiring measurements of a single object can be found in many applications. In this paper, we present the optimal recovery guarantees for the recovery of compressible signals from multi-sensor measurements using compressed sensing. In the first half of the paper, we present both uniform and nonuniform recovery guarantees for the conventional sparse signal model in a so-called distinct sensing scenario. In the second half, using the so-called sparse and distributed signal model, we present nonuniform recovery guarantees which effectively broaden the class of sensing scenarios for which optimal recovery is possible, including to the so-called identical sampling scenario. To verify our recovery guarantees we provide several numerical results including phase transition curves and numerically-computed bounds.

研究の動機と目的

• 複数のセンサーを用いた圧縮センシングによって得られた可縮信号の最適な回復保証を確立すること。
• センサーが異なるまたは同一の測定行列を使用する状況を含む、マルチセンサー系における異なるおよび同一の測定シナリオを分析すること。
• スパースかつ分散信号モデルに回復理論を拡張し、同一測定の状況のような困難な状況への適用範囲を広げること。
• 位相遷移曲線と数値的に計算された回復閾値を用いて理論的境界を検証すること。
• 測定数がスパarsity $ s $ に線形に比例し、センサー数 $ C $ に依存しないことが示され、並列取得の利点が裏付けられること。

提案手法

• 各センサーの測定行列 $ A_c = \tilde{A}_c H_c $ を含むブロック行列 $ A $ を用いたマルチセンサー圧縮センシングモデル $ y = Ax + e $ を定式化する。ここで $ H_c $ はセンサーのプロファイルを表す。
• 同一測定シナリオ（すべてのセンサーが同じ $ \tilde{A} $ を使用）においても回復保証が可能となるように、スパースかつ分散信号モデルを導入する。
• 非一様および一様回復保証を、非一貫性のあるセンサーのプロファイル下での制限的等方性性質（RIP）の確率的解析を用いて導出する。
• センサーのプロファイル行列 $ V $ のコherenec $ \mu(V) $ を定義し、$ \mu(V) \lesssim C^{-1} $ が異なる測定シナリオにおける最適な回復を保証することを示す。
• 同一測定シナリオにおける回復性能を定量化するための量 $ \Upsilon_{\text{idt}} $ を導入し、$ D = C $ の下で $ \Upsilon_{\text{idt}} $ が有界であれば最適な回復が達成されることを示す。
• ノイズ制約 $ \|Az - y\|_2 \leq \eta $ の下で $ \ell_1 $-最小化を用いたベースベイスプルーフを採用し、$ \sigma_s(x)_1 $（最良の $ \ell_1 $-近似誤差）を用いて回復誤差の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のセンサーのプロファイル行列を有するマルチセンサー圧縮センシングにおいて、最適な回復保証を確立できるか？
• RQ2 すべてのセンサーが同じ測定行列を使用する同一測定シナリオにおいて、スパースかつ分散信号モデル下で最適な回復が可能か？
• RQ3 センサーのプロファイル行列にどのような条件を課すと、1センサーあたりの測定数がスパarsity $ s $ に線形に比例し、$ C $ に依存しなくなるか？
• RQ4 異なる測定シナリオにおけるセンサーのプロファイル行列のコヒーレンス $ \mu(V) $ は、回復性能にどのように影響するか？
• RQ5 数値的位相遷移曲線は、特に同一測定領域において理論的回復境界を検証できるか？

主な発見

• 異なる測定シナリオにおいて、スパースな $ s $-ベクトルの最適な非一様回復が、センサーのプロファイル行列 $ V $ が非一貫性である、すなわち $ \mu(V) \lesssim C^{-1} $ の条件下で達成される。これにより、測定数は $ s $ に線形に比例し、$ C $ に依存しない。
• 異なる測定シナリオにおける新たな一様回復保証が確立され、同じ非一貫性条件の下で、すべての $ s $-スパース信号に対してロバストな回復が保証される。
• 同一測定シナリオにおいて、$ D = C $ の下でスパースかつ分散信号モデルの下で最適な非一様回復が証明された。$ C $ が増加しても $ \Upsilon_{\text{idt}} $ が有界のままであることが条件となる。
• 数値的結果から、$ D = C $ のとき $ \Upsilon_{\text{idt}} $ が $ C $ に伴って増大しないことが示され、1センサーあたりの測定数が $ C $ の増加に伴い減少することが確認され、並列取得の利点が裏付けられた。
• 異なるおよび同一の測定シナリオにおける巡回型センサーのプロファイルを用いた位相遷移曲線は、$ C $ の増加に伴い回復性能が向上しており、理論的予測と整合的である。
• 固定された $ r_1 + r_2 $ を持つバンド型プロファイルにおいて、異なるおよび同一の測定シナリオの両方で最適な回復が達成された。これは、支持がコンパクトなコイル感度を持つ1次元pMRIのような実用的状況でも理論が有効であることを検証している。