[論文レビュー] Sparsity of postcritically finite maps of $\mathbb{P}^k$ and beyond: A complex analytic approach

Thomas Gauthier, Johan Taflin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2023

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、動的高さ、分岐測度、等分布の理論を組み合わせた複素解析的アプローチを用いて、$k \geq 2$ における $\mathbb{P}^k$ の次数 $d$ の自己準同型の空間内での後期的有限（PCF）写像が、Zariski稠密でないことを証明する。さらに、$\mathbb{A}^2$ 内の正則多項式自己準同型のZariski開部分集合において、臨界集合内の前周期的点の数に一様な上限を与えることを、算術的力学および実力学的手法を用いて確立する。

ABSTRACT

An endomorphism $f:\mathbb{P}^k o\mathbb{P}^k$ of degree $d\geq2$ is said to be postcritically finite (or PCF) if its critical set $\mathrm{Crit}(f)$ is preperiodic, i.e. if there are integers $m>n\geq0$ such that $f^m(\mathrm{Crit}(f))\subseteq f^n(\mathrm{Crit}(f))$. When $k\geq2$, it was conjectured by Ingram, Ramadas and Silverman that, in the space $\mathrm{End}_d^k$ of all endomorphisms of degree $d$ of $\mathbb{P}^k$, such endomorphisms are not Zariski dense. We prove this conjecture. Further, in the space $\mathrm{Poly}_d^2$ of all regular polynomial endomorphisms of degree $d\geq2$ of the affine plane $\mathbb{A}^2$, we construct a dense and Zariski open subset where we have a uniform bound on the number of preperiodic points lying in the critical set. The proofs are a combination of the theory of heights in arithmetic dynamics and methods from real dynamics to produce open subsets with maximal bifurcation.

研究の動機と目的

• 次数 $d$ の $\mathbb{P}^k$ ($k \geq 2$) 上の後期的有限（PCF）自己準同型が、モジュライ空間 $\mathscr{M}_d^k$ 内でZariski稠密でないという、複素力学における予想を解決すること。
• 正則多項式自己準同型のZariski開部分集合において、臨界集合内の前周期的点の数に一様な上限を与えること。
• 分岐測度による動的安定性と算術的力学的高さを結びつけること。高さの不等式および等分布定理を用いる。
• モジュライ理論的および解析的技法を用いて、算術的力学における一様な境界の結果を、高次元動的系へと拡張すること。

提案手法

• 自己準同型族における臨界集合に対して、算術的・力学的複雑性を測るための、部分多様体上の標準的高さの使用。
• 動的高さおよび DSH 関数の理論を応用し、標準的高さを分岐測度および不安定性の測度と関連付けること。
• 実力学およびブレンドラーの手法を用いて、$\mathrm{End}_d^k$ 内に、分岐測度の台が非空な内部を持つZariski開部分集合を構成すること。
• 前周期的点の canonical 測度に関する等分布結果を用いて、臨界集合内のそのような点の数を制御すること。
• 自己同型の不変性を活用し、$\mathscr{M}_d^k$ および $\mathscr{P}_d^2$ 上の普遍族を介して問題をモジュライ空間の設定に還元すること。
• DeMarco-Krieger-Ye や Dimitrov-Gao-Habegger のインスピレーションを受けて、算術的力学からの一様な境界を用い、高さ制約下での臨界集合内での有限性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $d$ の $\mathbb{P}^k$ ($k \geq 2$) 上の後期的有限自己準同型は、モジュライ空間 $\mathscr{M}_d^k$ 内でZariski稠密か？
• RQ2 正則多項式自己準同型の臨界集合内の前周期的点の数に一様な上限を確立できるか？
• RQ3 正則多項式自己準同型のモジュライ空間において、分岐測度の台は非空な内部を持つか？
• RQ4 臨界集合の標準的高さは、臨界集合内の有理前周期的点の数を制御するためにどのように利用できるか？
• RQ5 自己準同型とその周期的点の乗数との間の対応関係が、有限対一でない場合の度合いはどの程度か？

主な発見

• 次数 $d$ の $\mathbb{P}^k$ ($k \geq 2$) 上の後期的有限自己準同型は、$\mathscr{M}_d^k$ 内でZariski稠密でない。これは文献に掲げられた予想を確認するものである。
• $\mathrm{Poly}_d^2$ 内に空でないZariski開部分集合 $U$ が存在し、任意の $f \in U(\bar{\mathbb{Q}})$ に対して、臨界集合内の $\bar{\mathbb{Q}}$-有理前周期的点の数は、$d$ のみに依存する定数 $B(d)$ で有界である。
• 任意の $f \in U(\mathbb{C})$ に対して、臨界集合内の複素前周期的点の数は、基本多項式 $p$ および次数 $d$ に依存する定数 $B(p,d)$ で有界である。
• 分岐測度の台は、$\mathscr{M}_d^k$ および $\mathscr{P}_d^2$ の両方で非空な内部を持つ。これは、これらの族における最大の不安定性を示している。
• 正則多項式自己準同型 $\mathscr{P}_d^2$ とその周期的点の乗数との間の対応関係は、Zariski閉集合を除き、有限対一である。
• 任意の $f$ が $\mathrm{Sk}(p,d)$ のZariski開部分集合に属するとき、正の定数 $\varepsilon(p,d) > 0$ および $B(p,d) \geq 1$ が存在し、$\#\{z \in C_f(\bar{\mathbb{Q}}) : \widehat{h}_f(z) \leq \varepsilon(p,d)\} \leq B(p,d)$ を満たす。