[論文レビュー] Spatial birth and death processes as solutions of stochastic equations

Nancy L. Garcia, Thomas G. Kurtz|ArXiv.org|May 23, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 67

ひとこと要約

この論文は、非コン pactな状態空間における確率微分方程式の解として空間的出生死滅過程を確立し、弱い条件下でも局所的有限性を保証するとともに、存在性、一意性、および混合性を証明する。定数の死滅率と劣臨界的な出生率の下で、過程は指数関数的に一意な定常分布に収束することが示される。

ABSTRACT

Spatial birth and death processes are obtained as solutions of a system of stochastic equations. The processes are required to be locally finite, but may involve an infinite population over the full (noncompact) type space. Conditions are given for existence and uniqueness of such solutions, and for temporal and spatial ergodicity. For birth and death processes with constant death rate, a sub-criticality condition on the birth rate implies that the process is ergodic and converges exponentially fast to the stationary distribution.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな距離空間における確率微分方程式系の解として空間的出生死滅過程を確立すること。
• 全空間上で無限個の個体が存在しても、局所的には有限のまま保たれるようにすること。
• 過程の時間的および空間的混合性に関する条件を導出すること。
• 出生率の劣臨界性条件のもとで、定常分布への指数的収束を証明すること。
• フレームワークを空間並進不変過程へと拡張し、定常分布の空間的混合性を確立すること。

提案手法

• ポアソン確率測度によって駆動される確率微分方程式系の解として過程を定式化すること。
• 出生率 λ(x,η) と死滅率 δ(x,η) を用いて、無限小生成作用素を定義する式 (1.1) を用いる。
• ポアソン確率測度および確率積分の理論を用いて、経路ごとの過程の構成を行う。
• 解の存在性と一意性を保証するため、局所的有限な計数測度の空間において λ と δ に条件を課す。
• 空間 S×[0,∞)^3 上のポアソン過程 N を用いたカップリングによる構成法を採用し、可測変換を介して過程を構築する。
• 空間並進による下での元のポアソン過程の不変性に基づく空間的混合性の結果を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト空間において、空間的出生死滅過程が存在し、局所的に有限のままである条件は何か？
• RQ2 過程が時間的および空間的に混合的であり、一意な定常分布を持つための条件は何か？
• RQ3 出生率の劣臨界性が定常状態への収束速度にどのように影響するか？
• RQ4 生成作用素が空間並進不変である場合、定常分布が空間的混合的であるための条件は何か？
• RQ5 詳細平衡条件 (1.5) を用いて、ギブス分布を定常測度とする過程をどのように構成できるか？

主な発見

• 出生率および死滅率の弱い可積分性および可測性条件のもとで、過程は存在し、一意に定まることが保証される。
• 定数の死滅率と劣臨界的な出生率の下で、過程は指数関数的に一意な定常分布に収束する。
• 出生率が空間並進不変であり、劣臨界性条件を満たす場合、一意な定常分布は空間的混合的である。
• 出生率が非減少であり、補題 3.2 の条件を満たす場合、最小および最大の定常分布は空間的混合的である。
• 詳細平衡条件 (1.5) が成り立つとき、ギブス分布の定常分布は一意な不変測度として現れる。
• 解の空間的混合性は、元のポアソン確率測度 N の空間的混合性および過程の構成に用いられる決定的変換の性質から導かれる。