[論文レビュー] Spatial combinatorics

Dmitri Finkelshtein, Yuri Kondratiev+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、局所コン pact なポーランド空間における局所的配置に一般化された無限次元組合せ論における空間的スターリング数を、演算子として導入する。Radon測度と連続関数の双対性を確立し、点過程の下り落ちる階乗とテンソル積との関係を示すスターリング演算子を導出する。これにより、正規交換関係下でのポisson過程およびウィック順序付けと関連づけられる。

ABSTRACT

We define and study a spatial (infinite-dimensional) counterpart of Stirling numbers. In classical combinatorics, the Pochhammer symbol $(m)_n$ can be extended from a natural number $m\in\mathbb N$ to the falling factorials $(z)_n=z(z-1)\dotsm (z-n+1)$ of an argument $z$ from $\mathbb F=\mathbb R ext{ or }\mathbb C$, and Stirling numbers of the first and second kinds are the coefficients of the expansions of $(z)_n$ through $z^k$, $k\leq n$ and vice versa. When taking into account spatial positions of elements in a locally compact Polish space $X$, we replace $\mathbb N$ by the space of configurations---discrete Radon measures $\gamma=\sum_i\delta_{x_i}$ on $X$, where $\delta_{x_i}$ is the Dirac measure with mass at $x_i$.The spatial falling factorials $(\gamma)_n:=\sum_{i_1}\sum_{i_2 e i_1}\dotsm\sum_{i_n e i_1,\dots, i_n e i_{n-1}}\delta_{(x_{i_1},x_{i_2},\dots,x_{i_n})}$ can be naturally extended to mappings $M^{(1)}(X) i\omega\mapsto (\omega)_n\in M^{(n)}(X)$, where $M^{(n)}(X)$ denotes the space of $\mathbb F$-valued, symmetric (for $n\ge2$) Radon measures on $X^n$. There is a natural duality between $M^{(n)}(X)$ and the space $\mathcal {CF}^{(n)}(X)$ of $\mathbb F$-valued, symmetric continuous functions on $X^n$ with compact support. The Stirling operators of the first and second kind, $\mathbf{s}(n,k)$ and $\mathbf{S}(n,k)$, are linear operators, acting between spaces $\mathcal {CF}^{(n)}(X)$ and $\mathcal {CF}^{(k)}(X)$ such that their dual operators, acting from $M^{(k)}(X)$ into $M^{(n)}(X)$, satisfy $(\omega)_n=\sum_{k=1}^n\mathbf{s}(n,k)^*\omega^{\otimes k}$ and $\omega^{\otimes n}=\sum_{k=1}^n\mathbf{S}(n,k)^*(\omega)_k$, respectively. We derive combinatorial properties of the Stirling operators, present their connections with a generalization of the Poisson point process and with the Wick ordering under the canonical commutation relations.

研究の動機と目的

• 局所コン pact なポーランド空間における無限次元的空間的配置へ古典的スターリング数を拡張すること。
• 点の配置を用いて、$X^n$ 上の対称的、$
  \mathbb{F}$-値のRadon測度である空間的下り落ちる階乗$(\gamma)_n$ を定義すること。
• コンpactな台を持つ連続関数の空間間の線形写像として、第一種および第二種の空間的スターリング演算子を定義すること。
• 測度空間と関数空間の間の双対性を確立し、組合せ的恒等式の演算子論的定式化を可能にすること。
• 空間的スターリング演算子、ポisson点過程、および正規交換関係下でのウィック順序付けとの関係を調査すること。

提案手法

• 局所コン pact なポーランド空間$X$ 内の順序付きで相異なる点の配置の和として、空間的下り落ちる階乗$(\gamma)_n$ を定義し、$M^{(n)}(X)$ へ写像する。ここで$M^{(n)}(X)$ は$X^n$ 上の対称的、$
  \mathbb{F}$-値のRadon測度の空間を表す。
• $M^{(n)}(X)$ と$\mathcal{CF}^{(n)}(X)$（$X^n$ 上の対称的、連続的、コンパクトな台を持つ関数の空間）の自然な双対性を確立する。
• スターリング演算子$\mathbf{s}(n,k)$ および$\mathbf{S}(n,k)$ を、$\mathcal{CF}^{(n)}(X)$ と$\mathcal{CF}^{(k)}(X)$ 間の線形写像として定義し、双対は$M^{(k)}(X)$ から$M^{(n)}(X)$ へ作用する。
• 基本的恒等式を導出する：$(\omega)_n = \sum_{k=1}^n \mathbf{s}(n,k)^* \omega^{\otimes k}$ および $\omega^{\otimes n} = \sum_{k=1}^n \mathbf{S}(n,k)^* (\omega)_k$。これらは下り落ちる階乗とテンソル積を結びつける。
• 双対性を用いてスターリング演算子の組合せ的性質を導出し、ポisson点過程のモーメント生成関数構造と関連づける。
• 対称的関数への機能的構造を通じて、正規交換関係の文脈におけるウィック順序付けと演算子を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的スターリング数は、局所コン pact なポーランド空間における無限次元的空間的配置へどのように一般化できるか？
• RQ2 Radon測度と連続関数の双対性が、空間的スターリング演算子の定義において果たす役割は何か？
• RQ3 空間的スターリング演算子は、ポisson点過程のモーメント構造とどのように関係するか？
• RQ4 スターリング演算子は、積空間上の対称的測度の文脈で、どのように組合せ的恒等式を符号化するか？
• RQ5 空間的スターリング演算子は、正規交換関係およびウィック順序付けの枠組みにおいて、どのように出現するか？

主な発見

• 空間的下り落ちる階乗$(\gamma)_n$ は、配置$\gamma$ 内の順序付きで相異なる点の配置から構成される$X^n$ 上の対称的Radon測度として定義される。
• 第一種スターリング演算子の双対は、$(\omega)_n = \sum_{k=1}^n \mathbf{s}(n,k)^* \omega^{\otimes k}$ を満たし、下り落ちる階乗の古典的展開を一般化する。
• 第二種スターリング演算子の双対は、$\omega^{\otimes n} = \sum_{k=1}^n \mathbf{S}(n,k)^* (\omega)_k$ を満たし、古典的関係を逆転させる。
• スターリング演算子は、対称的測度への作用を通じて、ポisson点過程のモーメント生成関数と密接に結びついていることが示された。
• これらの演算子は、正規交換関係のフォック空間表現におけるウィック順序付けの組合せ的枠組みを提供する。
• この構成全体は、$M^{(n)}(X)$ と$\mathcal{CF}^{(n)}(X)$ 間の双対性と整合的であり、対称的関数および測度空間上の線形操作が適切に定義されることを保証する。