[論文レビュー] Spatial ergodicity for SPDEs via a Poincaré-type inequality

Le Chen, Davar Khoshnevisan+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 46被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、空間時間白色ノイズと色付き空間相関を有する一階型放物型確率偏微分方程式（SPDE）の解に対して、空間的エルゴード性を確立する。新規のポincare型不等式を用いて、空間相関核 $ h $ に対して弱い可積分性条件が満たされれば、すべての $ t > 0 $ に対して解 $ u(t,x) $ は空間的に定常的かつエルゴード的であることが示され、SPDEにおける間欠的挙動の研究に厳密な基礎を提供する。

ABSTRACT

Consider a parabolic stochastic PDE of the form $\partial_t u=\frac{1}{2}Δu + σ(u)η$, where $u=u(t\,,x)$ for $t\ge0$ and $x\in\mathbb{R}^d$, $σ:\mathbb{R} o\mathbb{R}$ is Lipschitz continuous and non random, and $η$ is a centered Gaussian noise that is white in time and colored in space, with a possibly-signed homogeneous spatial correlation function $f$. If, in addition, $u(0)\equiv1$, then we prove that, under a mild decay condition on $f$, the process $x\mapsto u(t\,,x)$ is stationary and ergodic at all times $t>0$. It has been argued that, when coupled with moment estimates, spatial ergodicity of $u$ teaches us about the intermittent nature of the solution to such SPDEs \cite{BertiniCancrini1995,KhCBMS}. Our results provide rigorous justification of of such discussions. The proof rests on novel facts about functions of positive type, and on strong localization bounds for comparison of SPDEs.

研究の動機と目的

• 放物型SPDEの解 $ u(t,x) $ がすべての $ t > 0 $ に対して空間的に定常的かつエルゴード的であるための条件を確立すること。
• 空間的エルゴード性とSPDE解の間欠的挙動を結びつける非形式的議論に対する厳密な根拠を提供すること。
• 空間相関関数 $ f $ が符号付きである場合（古典的な非負の場合を越えて）にも、適切な正規化とエルゴード性の結果を拡張すること。
• 一般の空間相関構造を有するSPDEにおける空間的エルゴード性を分析するための、新しいポincare型不等式フレームワークを構築すること。

提案手法

• 証明は、正定値関数に関する新規な事実と、異なるノイズ構造を持つSPDEを比較するための強い局在化バウンドに依存している。
• 主な技術的道具は、解の空間的構造に適合されたポincare型不等式であり、空間的分散の制御を可能にする。
• 著者らは、特定の積分条件 $ \|h\|_{L^p(\mathbb{B}_r)}\|h\|_{L^q(\mathbb{B}_r^c)} + \|h\|_{L^2(\mathbb{B}_r^c)}^2 $ を満たす関数 $ h $ のクラス $ \mathcal{G}_p(\mathbb{R}^d) $ を導入し、これがエルゴード性を保証する。
• 比較原理とモーメント推定を用いて、大規模領域における解の空間的分散を制御する。
• 調和解析と $ f $ のフーリエ変換の性質、特に $ f = h * \tilde{h} $ の場合に注目して分析を行う。
• 証明により、$ h \in \mathcal{G}_p(\mathbb{R}^d) $ かつある $ p > 1 $ に対して成り立つならば、解は空間的にエルゴード的であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間相関核 $ f $ に対してどのような条件下で、解 $ u(t,x) $ はすべての $ t > 0 $ に対して空間的に定常的かつエルゴード的となるか？
• RQ2 一般（符号付きを含む）空間相関を持つSPDEに対して、ポincare型不等式を用いて空間的エルゴード性を確立できるか？
• RQ3 $ f = h * \tilde{h} $ のとき、$ h $ の可積分性と解のエルゴード性の関係は何か？
• RQ4 空間的エルゴード性を保証するための $ h $ の最小の減衰または正則性条件は何か？

主な発見

• SPDE $ \partial_t u = \frac{1}{2}\Delta u + \sigma(u)\eta $ の解 $ u(t,x) $ は、ある $ p > 1 $ に対して $ h \in \mathcal{G}_p(\mathbb{R}^d) $ ならば、すべての $ t > 0 $ に対して空間的に定常的かつエルゴード的である。
• 条件 $ \int_0^1 \left( \|h\|_{L^p(\mathbb{B}_r)}\|h\|_{L^q(\mathbb{B}_r^c)} + \|h\|_{L^2(\mathbb{B}_r^c)}^2 \right) \omega_d(r) \, dr < \infty $ かつ $ q = p/(p-1) $ が満たされれば、空間的エルゴード性が十分である。
• べき則的減衰 $ h(x) \sim |x|^{-\alpha} $ で $ \alpha < 2 \wedge d $ の場合、すべての $ p $ が 1 に十分近いとき条件を満たし、エルゴード性が保証される。
• 空間平均 $ \fint_{[0,N]^d} g(u(t,x)) \, dx $ の分散は $ \left( \frac{\log N)^{3/2}}{N} \right)^{d\beta/(d+\beta)} $ のオーダーで減少し、混合性が確認される。
• 本結果により、文献におけるSPDE解の間欠的挙動に関する非形式的主張が、厳密なエルゴード性の観点から正当化される。
• 本手法は $ f $ が符号付きであっても適用可能であり、古典的な非負相関枠組みを越えて拡張可能である。