[論文レビュー] Spatial populations with seed-bank: well-posedness, duality and equilibrium

Andreas Greven, Franciscus den Hollander+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2020

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可算アーベル群上の相互作用的フィッシャー＝ワットン拡散を用いて、種子バンクを有する空間的集団を研究し、不活性化メカニズムの複雑さが増す3つのモデルを導入する。well-posedness、双対性、平衡への収束を確立し、目覚め時間の平均が無限大である場合でさえも、種子バンクが遺伝的多様性を維持し、共存を可能にするため、古典的モデルとは異なる新しい普遍性クラスを明らかにする。

ABSTRACT

We consider a system of interacting Fisher-Wright diffusions with seed-bank. Individuals live in colonies and are subject to resampling and migration as long as they are active. Each colony has a structured seed-bank into which individuals can retreat to become dormant, suspending their resampling and migration until they become active again. As geographic space labelling the colonies we consider a countable Abelian group $\mathbb{G}$ endowed with the discrete topology. The key example of interest is the Euclidean lattice $\mathbb{G}=\mathbb{Z}^d$. Our goal is to classify the long-time behaviour of the system in terms of the underlying model parameters. In particular, we want to understand in what way the seed-bank enhances genetic diversity. We introduce three models of increasing generality, namely, individuals become dormant: (1) in the seed-bank of their colony; (2) in the seed-bank of their colony while adopting a random colour that determines their wake-up time; (3) in the seed-bank of a random colony while adopting a random colour. The extension in (2) allows us to model wake-up times with fat tails while preserving the Markov property of the evolution. For each of the three models we show that the system converges to a unique equilibrium depending on a single density parameter that is determined by the initial state, and exhibits a dichotomy of coexistence (= locally multi-type equilibrium) versus clustering (= locally mono-type equilibrium) depending on the parameters controlling the migration and the seed-bank. The dichotomy between clustering and coexistence in model 1 is determined by migration only. In models (2) and (3), when the wake-up time has infinite mean, the dichotomy is determined by both the exchange with the seed-bank and migration. It turns out that the seed-bank affects the long-time behaviour both quantitatively and qualitatively.

研究の動機と目的

• 種子バンクが空間的集団の長期的遺伝的多様性と平衡挙動に与える影響を理解すること。
• 移動と不活性化パラメータに応じて、相互作用的拡散の長期的挙動を分類すること。
• 古典的フィッシャー＝ワットンモデルを、構造化された種子バンク、確率的コロニー不活性化、色分けされた目覚め時間を持つ空間的設定に拡張すること。
• 強い解、双対性、カップリング技術を用いて、複雑な不活性化ダイナミクスを持つ系に対して数学的厳密性を確立すること。
• 種子バンク効果が移動を上回る臨界次元における、新しい普遍性クラスを同定すること。

提案手法

• モデルは可算アーベル群 $\mathbb{G}$ 上に構築され、主な例として $\mathbb{Z}^d$ を用い、移動を表す空間的コロニーを表現する。
• 3つのモデルを導入：(1) 自身のコロニー内での不活性化、(2) 色が目覚め時間の決定要因となる不活性化、(3) 確率的コロニーでの不活性化と色分けされた目覚め。
• 大規模コロニーの極限において、連続拡散確率微分方程式が系を記述し、強い解の存在によりwell-posednessが証明される。
• 前向き過程と双対な分岐系との間で双対性を確立し、長期挙動の解析を可能にする。
• カップリング技術を用いて、重い尾を持つ目覚め時間に対しても、一意な平衡への収束を証明する。
• 双対性を用いて、標準フィッシャー＝ワットンの場合を越えた一般化された拡散関数を許容する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 種子バンクの導入が、移動を伴う空間的集団モデルにおける共存とクラスタリングの二分法にどのように影響を与えるか。
• RQ2 目覚め時間分布の尾の挙動が、長期的遺伝的多様性を決定づける役割を果たすか。
• RQ3 古典的モデル（種子バンクなし）がクラスタリングを示すと予想される、臨界的または再発的移動の下で、種子バンクが共存を誘発できるか。
• RQ4 移動と種子バンクダイナミクスの相互作用が、多コロニー系における平衡構造に与える影響は何か。
• RQ5 種子バンクが移動を上回り、系の長期的挙動を決定づける条件は何か。

主な発見

• モデル1では、二分法（クラスタリング対共存）は移動にのみ依存する：再発的移動ではクラスタリング、非再発的移動では共存となり、種子バンクなしの場合と同様の挙動を示す。
• モデル2および3では、目覚め時間が無限大の平均を持つ場合、臨界的再発的移動下でも種子バンクが共存を誘発する。古典的モデルではこの条件下でクラスタリングが予想されるが、種子バンクの存在により共存が可能になる。
• 十分に厚い尾を持つ無限大平均の目覚め時間では、種子バンクが二分法を決定づけ、移動の影響は長期的結果に無視できる。
• モデルの複雑さに関わらず、初期状態から導かれる1つの密度パラメータによって決定される一意な平衡に収束する。
• 双対性およびカップリング技術により、標準フィッシャー＝ワットン形式を超えた一般化された拡散関数のクラスへ結果を拡張可能。
• 種子バンクの追加により、特に目覚め時間が重い尾を持つ場合、臨界次元において新しい普遍性クラスが出現する。