[論文レビュー] Spatial rough path lifts of stochastic convolutions

Peter K. Friz, Benjamin Gess+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ガウス過程の分散関数の凹型または凸型の性質に着目し、定常増分を有するガウス過程の共分散の有限制御 rho-変動性の十分条件を確立する。これらの条件により、空間に彩色されたノイズを伴う分数階確率的熱方程式の解に対して空間的粗いパスリフトを構築可能となり、最近の粗いパス理論の進展を拡張する。

ABSTRACT

We present sufficient conditions for finite controlled rho-variation of the covariance of Gaussian processes with stationary increments, based on concavity or convexity of their variance function. The motivation for this type of conditions comes from recent work of Hairer [CPAM,2011]. Our results allow to construct rough paths lifts of solutions to a class of fractional stochastic heat equations with additive, possibly colored Wiener noise with respect to their space variable.

研究の動機と目的

• 定常増分を有するガウス過程の分散関数に対して、その共分散の有限制御 rho-変動性を保証する十分条件を同定すること。
• 粗いパス理論の適用範囲を空間時間ノイズを伴う確率的偏微分方程式へ拡張すること。
• 分数階確率的熱方程式の解に対する粗いパスリフトの構築の理論的基盤を提供すること。
• 経路論的統合手法を用いて空間変数における彩色ウィーナー・ノイズを取り扱う課題に対処すること。

提案手法

• 定常増分を有するガウス過程の分散関数を分析し、その凹型または凸型の性質を同定すること。
• 共分散関数の有限制御 rho-変動性を保証する分散関数に関する十分条件を導出すること。
• 分数階確率的熱方程式の解過程の共分散構造にこれらの条件を適用すること。
• 得られた rho-変動性の制御を用いて、解過程の空間的粗いパスリフトを構築すること。
• 特にハイアー（2011）の最近の理論的進展を活用し、リフト構成を正当化すること。
• ノイズが空間時間白色ノイズに限らず、空間に彩色された場合にも本手法が適用可能であることを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常増分を有するガウス過程の分散関数に対して、どのような条件下でその共分散関数が有限制御 rho-変動性を有するか？
• RQ2 分散関数の凹型または凸型の性質は、過程の粗いパス特性をどのように制御できるか？
• RQ3 加法的で、空間に彩色されたノイズを伴う分数階確率的熱方程式の解に対して、粗いパスリフトを構築できるか？
• RQ4 共分散の rho-変動性が、このような確率的偏微分方程式における経路論的解法構築を可能にする役割は何か？
• RQ5 このアプローチは、確率的偏微分方程式における従来の粗いパス理論の結果をどのように拡張または一般化するか？

主な発見

• パrameterのレジームに応じて、分散関数が凹型または凸型であれば、共分散関数の有限制御 rho-変動性が保証される。
• 分散関数に関する十分条件により、解過程の空間的粗いパスリフトの構築が可能となる。
• 本手法は、空間に彩色されたノイズを伴う分数階確率的熱方程式に適用可能であり、空間白色ノイズに限らない。
• 本結果により、ハイアーのフレームワークが確率的偏微分方程式におけるより広範なガウスノイズ過程のクラスへ拡張される。
• 本アプローチにより、従来の伊藤またはストラトニビン統合では十分でないような確率的偏微分方程式に対しても、経路論的解法構築が可能となる。