[論文レビュー] SPDEs with Polynomial Growth Coecients and Malliavin Calculus Method

Qi Zhang, Huaizhong Zhao|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多項式成長係数を有する確率的偏微分方程式（SPDEs）の弱解に対する確率的表現を、後向き二重確率的微分方程式（BDSDEs）を用いて確立する。マリヤン・微積分、弱収束、ウィエンャー＝ソボレフコンパクト性を用いて、L²p(Rd;R¹) × L²(Rd;Rd)-値のBDSDE解の存在および一意性を証明し、有限区間におけるBDSDE解の無限大における収束が、定常SPDE解の存在および安定性と関連していることを示している。

ABSTRACT

In this paper we study the existence and uniqueness of theL 2p (R d ;R 1 ) L 2 (R d ;R d ) valued solutions of backward doubly stochastic dierential equations (BDSDEs) with polynomial growth coecients using weak convergence, equivalence of norm principle and Wiener- Sobolev compactness arguments. Then we establish a new probabilistic representation of the weak solutions of SPDEs with polynomial growth coecients through the solutions of the corresponding BDSDEs. This probabilistic representation is then used to prove the existence of stationary solutions of SPDEs on R d via innite horizon BDSDEs. The convergence of the solution of a nite horizon BDSDE, when its terminal time tends to innity, to the solution of the innite horizon BDSDE is shown to be equivalent to the convergence of the pull-back of the solution of corresponding SPDE to its stationary solution. This way we obtain the stability of the stationary solution naturally. i=1 i <1. The coecients f : R d R 1 3 (x;v)7! f(x;v)2 R 1 is a real-valued function of polynomial growth (p 2); g : R d R 1 3 (x;v)7! g(x;v)2

研究の動機と目的

• 多項式成長係数を有する後向き二重確率的微分方程式（BDSDEs）に対して、L²p(Rd;R¹) × L²(Rd;Rd)-値の解の存在および一意性を確立すること。
• 対応するBDSDEの解を通じて、多項式成長係数を有するSPDEの弱解に対する新しい確率的表現を構築すること。
• 無限区間におけるBDSDEの解析を用いて、R^d 上のSPDEに対する定常解の存在を証明すること。
• 終端時刻が無限大に近づく際の有限区間BDSDE解の収束が、SPDE解のその定常解へのプルバック収束と同値であることを示すこと。
• この同値性を通じて、SPDEの定常解の安定性を確立すること。

提案手法

• 有限区間BDSDEの解の極限挙動を分析するため、弱収束技術を用いる。
• ノルムの同値性の原理を用いて、L²pおよびL²空間における解の成長を制御する。
• ウィエンャー＝ソボレフコンパクト性の議論を用いて、解空間内での収束部分列を抽出する。
• マリヤン微積分法を用いて、BDSDEフレームワーク内での確率積分および正則性を扱う。
• 対応するBDSDEの解を通じて、SPDEの弱解の確率的表現を構築する。
• 有限区間BDSDE解の収束とSPDE解の定常状態への収束との間の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式成長係数を有する後向き二重確率的微分方程式（BDSDEs）が、L²p(Rd;R¹) × L²(Rd;Rd)-値の解を有するための条件は何か？
• RQ2 多項式成長係数を有するSPDEの弱解は、BDSDEの解を通じて確率的に表現可能か？
• RQ3 無限区間におけるBDSDEは、R^d 上のSPDEに対する定常解の存在をどのように証明するか？
• RQ4 有限区間BDSDE解の収束（終端時刻が無限大に近づく場合）は、SPDE解のその定常解への収束と同値か？
• RQ5 関連するBDSDEの収束を通じて、SPDEの定常解の安定性を保証する条件は何か？

主な発見

• 弱収束およびノルム同値性を用いて、多項式成長係数を有するBDSDEに対して、L²p(Rd;R¹) × L²(Rd;Rd)-値の解の存在および一意性が証明された。
• 対応するBDSDEの解を通じて、多項式成長係数を有するSPDEの弱解に対する新しい確率的表現が確立された。
• 無限区間におけるBDSDEの解析を通じて、R^d 上のSPDEに対する定常解の存在が証明された。
• 終端時刻が無限大に近づく際の有限区間BDSDE解の収束が、SPDE解のその定常解へのプルバック収束と同値であることが示された。
• この二つの収束状態の同値性から、SPDEの定常解の自然な安定性が導かれた。
• この手法は、必要な正則性および収束性を保証するため、マリヤン微積分およびウィエンャー＝ソボレフコンパクト性に依存している。