[論文レビュー] Special, conjugate and complete scale functions for spectrally negative Lévy processes

Andreas E. Kyprianou, Ví ctor Rivero|ArXiv.org|Dec 20, 2007

Probability and Risk Models被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ベルンシュタイン関数とウィーナー＝ホフ因子分解を活用することで、スペクトル的に負のレビ過程の明示的スケール関数を構築する新しい手法を提案する。完全ベルンシュタイン関数から導かれる共役対のスケール関数を用いることで、リニクの部分的順序統合子やベッセル関数と関連する過程を含む、新たな完全な明示的例が提供され、フラクチュエーション理論における解析的に取り扱える過程のクラスが顕著に拡張される。

ABSTRACT

Following from recent developments by Hubalek and Kyprianou, the objective of this paper is to provide further methods for constructing new families of scale functions for spectrally negative Lévy processes which are completely explicit. This is the result of an observation in the aforementioned paper which permits feeding the theory of Bernstein functions directly into the Wiener-Hopf factorization for spectrally negative Lévy processes. Many new, concrete examples of scale functions are offered although the methodology in principle delivers still more explicit examples than those listed.

研究の動機と目的

• 既知の例を超えて、スペクトル的に負のレビ過程の明示的に計算可能なスケール関数のクラスを拡張すること。
• ベルンシュタイン関数理論と共役対の理論を用いて、スケール関数を体系的に構築する方法を開発すること。
• ウィーナー＝ホフ因子分解フレームワークを用いて、具体的な閉形式のスケール関数の例を提供すること。
• 最近のスケール関数に関する結果を、部分的順序統合子の潜在的解析に基づくより広範な解析的構造に統合・一般化すること。

提案手法

• スペクトル的に負のレビ過程のウィーナー＝ホフ因子分解を用い、ベルンシュタイン関数理論と関連付ける。
• 部分的順序統合子のラプラス指数とその関連スケール関数との双対性に基づき、共役スケール関数の概念を導入する。
• 完全ベルンシュタイン関数の理論を適用し、共役対のスケール関数の存在と正則性を保証する。
• ミタグレフ関数や修正ベッセル関数などの特殊関数を含むラプラス変換および逆ラプラス変換を用いて、スケール関数の明示的表現を導出する。
• 特定のベルンシュタイン関数（例：log(1+θ^α), log{(1+θ)+√((1+θ)^2−1)}) を選択し、その共役を計算することで、新しい例を構築する。
• ラプラス変換表現を通じて、パラメータに関して連続であることを確立し、振動型ケース（κ=0）の包含を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルンシュタイン関数理論を用いて、スペクトル的に負のレビ過程の新たな家族の明示的計算可能なスケール関数を構築できるか？
• RQ2 二つのスケール関数が双対ラプラス指数の意味で共役であるとみなされるための条件は何か？
• RQ3 ウィーナー＝ホフ因子分解を体系的に活用して、新しいスケール関数の例を生成する方法は何か？
• RQ4 完全ベルンシュタイン関数は、共役スケール関数の存在と正則性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 既知の特殊関数（例：ミタグレフ関数、ベッセル関数）を用いて、スケール関数を閉形式で表現できるか？

主な発見

• ラプラス指数 φ(θ) = λ log(1+θ^α) のリニク部分的順序統合子に対して、ラプラス指数 ψ*(θ) = θ²/(λ log(1+θ^α)) とスケール関数 W*(x) = αλ ∫₀ˣ ∫ᵧ^∞ E_α,1(−z)/z dz dy を持つ共役スペクトル的に負のレビ過程が存在する。
• α=1 の場合、スケール関数は W(x) = λ ∫₀ˣ e^−y ∫₀^∞ y^{t−1}/Γ(t) dt dy に簡略化され、既知の結果と一致する。
• φ(θ) = log{(1+θ)+√((1+θ)^2−1)} の部分的順序統合子に対して、共役スケール関数は W*(x) = ∫₀ˣ ∫ᵧ^∞ (e^−z/z) I₀(z) dz dy であり、関連するレビ測度は ∫ₓ^∞ Π*(-∞,−y) dy = (e^−x/x) ∫₀^∞ t I_t(x) dt を満たす。
• リニクの場合の共役親過程は κ*=1 かつ d*=0 を満たし、∞へのドリフトとガウス成分の不在を示している。
• ベッセル型のケースにおける共役親過程は κ*=0 かつ d*=0 を満たし、振動とガウス成分の不在を示している。
• ラプラス変換における極限を取ることで、κ=0 ケース（振動型過程）を含めることができ、パラメータに関してスケール関数が連続であることが保証される。