[論文レビュー] Special cycles on unitary Shimura varieties I. unramified local theory

Stephen S. Kudla, Michael Rapoport|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$p$-除的群の $O_K$-作用を備えた形式的モジュライ空間上での特別なサイクルを構成することにより、ユニタリ・シュイマ多様体における局所的算術コhen–レングラス予想を確立する。その結果、これらの特別なサイクルの交差長が、ヘルミート形式の表現密度の微分と一致することを示している。主な結果は、準正規化リフトの技法を用いたゼロ次元特別サイクルの長さに対する明確な公式であり、局所的算術幾何学と$L$-関数の特殊値を結びつける。

ABSTRACT

The supersingular locus in the fiber at p of a Shimura variety attached to a unitary similitude group GU(1,n-1) over Q is uniformized by a formal scheme \Cal N. In the case when p is inert, we define special cycles Z(x) in \Cal N, associated to a collection x of m `special homomorphisms' with fundamental matrix T in Herm_m(OK). When m=n and T is nonsingular, we show that the cycle Z(x) is a union of components of the Ekedahl-Oort stratification, and we give a necessary and sufficient conditions, in terms of T, for Z(x) to be irreducible. When Z(x) is zero dimensional -- in which case it reduces to a single point -- we determine the length of the corresponding local ring by using a variant of the theory of quasi-canonical liftings. We show that this length coincides with the derivative of a representation density for hermitian forms.

研究の動機と目的

• 非分岐素数におけるユニタリ・シュイマ多様体上の特別サイクルの局所的理論を構築し、グローバル算術幾何学を$p$-進設定に拡張すること。
• 次を満たす形式的モジュライ空間 $\mathcal{N}$ における特別サイクル $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ を定義すること：$p$-除的群に $O_K$-作用と $p$-主極性を備える。
• 局所的環の長さを、準正規化リフト理論の変種を用いてゼロ次元特別サイクルの長さを計算すること。
• この長さが、$O_K$ 上のヘルミート形式の表現密度の微分と等しいことを示すこと。
• Kudla–Rapoport予想の局所的類似を確立し、算術的交差数をイーゼンスタイン級数の微分と結びつけること。

提案手法

• 次を満たす形式的モジュライ空間 $\mathcal{N}$ を構成する：次元 $n$、高さ $2n$、$O_K$-作用が型 $(1,n-1)$ で、$p$-主極性を備える $p$-除的群。
• 基本行列 $T \in \operatorname{Herm}_m(O_K)$ を持つ特別なホモーモルフィズムの $m$-重組 $\mathbb{x}$ に関連する特別サイクル $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ を定義する。
• エケダール–オアート層化を用いて、$m=n$ かつ $T$ が非特異のときの $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ の構造を解析し、それが層化成分の和集合であることを示す。
• $p$-進ヘルミートモジュール上の格子論的条件を用いて、$\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ の既約性の必要十分条件を行列 $T$ の言いかえで与える。
• 準正規化リフト理論の変種を適用し、ゼロ次元 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ の局所環の長さを計算する。
• $p$-進積分と格子のインデックスを用いて表現密度の微分の公式を導出し、計算された長さと一致させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ・シュイマ多様体上の特別サイクルは、非分岐素数における $p$-進局所モデルでどのように振る舞うか？
• RQ2 $m=n$ かつ $T$ が非特異のとき、特別サイクル $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ の構造はいかなるものか？
• RQ3 行列 $T$ に対して、サイクル $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ が既約であるための条件は何か？
• RQ4 ゼロ次元特別サイクルにおける局所環の長さは何か？ そして算術的 $L$-関数とどのように関係するか？
• RQ5 $p$-進版の準正規化リフトを用いて、局所環の長さを計算できるか？

主な発見

• $m=n$ かつ $T$ が非特異のとき、サイクル $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ は空またはエケダール–オアート層化の成分の和集合である。
• $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ が既約であるための必要十分条件は、行列 $T$ の $p$-進付値と関連するヘルミートモジュールの構造に基づく。
• ゼロ次元 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ に対して、局所環の長さは準正規化リフトを用いて計算され、$T$ に関連するヘルミート形式の表現密度の微分と一致する。
• 長さの公式は、インデックス $|M:N_i \perp N_i^\perp|^{-n_2}$ および $|N_i^\vee : N_i|^{n_2}$ を含む格子分解の和として表され、$L_1$ がユニモジュラーのとき $\alpha_p(L,M)$ は $\alpha_p(L_1,M)\alpha_p(L_2,N^\perp)$ に分解される。
• 文献[17] の補題 7.7.3 の証明が、自己準同型 $\varphi$ の変形局所が、準正規化除算 $\mathcal{W}_s(\varphi)$ の和に等しく、交差多重度が期待される $p$-進和と一致することを示すことによって完成する。
• 特別ファイバーにおける $\varphi$ の変形局所の長さが、非分岐の場合に $2\sum_{i=0}^{c-1} p^i + p^c$、分岐の場合に $2\sum_{i=0}^c p^i$ に等しいことが示され、Keating の結果により公式が確認された。