[論文レビュー] Special elements in lattices of semigroup varieties

B. M. Vernikov|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2013

semigroups and automata theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特に可換および過可換な種類について、半群種の格子内における特殊要素—モジュラー、分配的、中立的、およびその他の要素—について包括的なサーベイを提供する。主な貢献は、過可換半群種の格子 $Λ$ 内で $Λ$-中立的、$Λ$-標準的、$Λ$-グリーディな種の完全な特徴付けであり、それらが同値であることを示し、種 $σ_{\lambda}$ およびその有限交叉を通じて明確な構造的記述がなされる。

ABSTRACT

We survey results concerning special elements of nine types (modular, lower-modular, upper-modular, cancellable, distributive, codistributive, standard, costandard and neutral elements) in the lattice of all semigroup varieties and certain its sublattices, mainly in the lattices of all commutative varieties and of all overcommutative ones. Several open questions are formulated. The work is regularly updated and modified as new results and/or articles appear.

研究の動機と目的

• 半群種の格子における9種類の特殊要素—モジュラー、キャンセル可能、分配的、余分配的、標準的、余標準的、中立的、および上/下モジュラー—を体系的かつ分類的に調査すること。
• 特に格子 $\mathbb{COM}$（可換種）および $\mathbb{OC}$（過可換種）における特殊要素の構造を特定すること。
• $\mathbb{OC}$ 内で $Λ$-モジュラー、$Λ$-下モジュラー、$Λ$-上モジュラー種の特徴付けに関する未解決問題を解き、残りのタイプを完全に特徴付けること。
• $\mathbb{OC}$ 内で中立的、標準的、またはグリーディな過可換種の明確な代数的記述を確立し、それらを分割に基づく恒等式と関連付けること。

提案手法

• 半群種の格子 $\mathbb{SEM}$、$\mathbb{COM}$、$\mathbb{OC}$ 内で特殊要素（例：モジュラー、分配的、中立的）の格子論的定義を採用する。
• 分割理論の使用：$\lambda \in \Lambda_{n,m}$ を $n$ を $m$ 個の部分に分割するものと定義し、それに対応する種 $\mathbf{S}_{\lambda}$ を横断的集合 $W_{n,m,\lambda}$ 上の恒等式によって構成する。
• 「グリーディ」種の概念の導入：ある横断的集合を縮約する際に、そのすべての恒等式を崩壊させる種であり、これが複数の特殊要素タイプと同値であることが示される。
• 先行研究の結果（[35], [36], [48], [64]）および構造的補題（例：命題 2.11, 2.12）を用いて、$\mathbb{OC}$ 内で特殊要素タイプの同値性を証明する。
• 双対性原理を用いて、上モジュラー、余分配的、余標準的要素を、それぞれ下モジュラー、分配的、標準的要素と関連付ける。
• 特に過可換種の文脈において、格子恒等式および遺伝的性質を通じて同値性の鎖を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの過可換半群種が格子 $\mathbb{OC}$ 内で中立的であるか？
• RQ2 $\mathbb{OC}$ 内で標準的かつ余標準的である種の構造的特徴付けは何か？
• RQ3 $\mathbb{OC}$ 内で分配的、余分配的、キャンセル可能、グリーディ種の概念はどのように関係しているか？
• RQ4 $\mathbb{OC}$-中立的種のクラスは、分割された語集合上の恒等式によって完全に記述可能か？
• RQ5 $\mathbb{OC}$ 内にモジュラーや上モジュラーな種が存在するか？もしあるなら、その構造は何か？

主な発見

• 過可換半群種 $\mathbf{V}$ が $\mathbb{OC}$-中立的であることと、$\mathbb{OC}$-標準的、$\mathbb{OC}$-余標準的、$\mathbb{OC}$-キャンセル可能、$\mathbb{OC}$-分配的、$\mathbb{OC}$-余分配的、または $\mathbb{OC}$-グリーディであることとは同値である。
• $\mathbf{V}$ が $\mathbb{OC}$-グリーディであることと、$\mathbf{SEM}$ であるか、あるいはある分割 $\lambda$ に対する種 $\mathbf{S}_{\lambda}$ の有限交叉であることは同値である。
• $\mathbf{S}_{\lambda}$ は、ある $i \in \{0, 1, \dots, s(\lambda)\}$ に対して $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W_{n+i,m+i,\lambda^{(i)}}$ を満たすすべての恒等式 $\mathbf{u} \approx \mathbf{v}$ によって生成される種である。
• $\mathbb{OC}$-中立的、$\mathbb{OC}$-標準的、$\mathbb{OC}$-余標準的要素の同値性は、格子論的双対性および恒等式の鎖を通じて確立される。
• $\mathbb{OC}$ 内の結果は鋭い：$\mathbb{OC}$-モジュラー、$\mathbb{OC}$-下モジュラー、$\mathbb{OC}$-上モジュラー種については未解決のままだが、他の6種類のタイプは完全に特徴付けられている。
• 証明は、特に横断的集合およびグリーディ性質による恒等式縮約の役割を強調する、[35]、[36]、[48]、[64] の深い構造的結果に依拠している。