[論文レビュー] Special functions and q-commuting variables

Tom H. Koornwinder|ArXiv.org|Aug 13, 1996

Mathematical functions and polynomials参考文献 17被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、$xy = qyx$（$0 < q < 1$）を満たすq非可換変数を伴う特殊関数の体系的考察を提示する。q二項定理、q指数関数、q対数関数といった古典的恒等式を非可換設定に拡張し、q-フーリエ変換とジャクソン積分がq非可換平行移動に関して不変であることを示す。これらはバインド量子群構造、特にバインドラインを介して統一され、q特殊関数論におけるより深い代数的および標準的性質が明らかになる。

ABSTRACT

This paper is mostly a survey, with a few new results. The first part deals with functional equations for q-exponentials, q-binomials and q-logarithms in q-commuting variables and more generally under q-Heisenberg relations. The second part discusses translation invariance of Jackson integrals, q-Fourier transforms and the braided line.

研究の動機と目的

• 可換でない変数 $x,y$ が $xy = qyx$ を満たす非可換設定において、二項、指数、対数の古典的特殊関数恒等式を拡張すること。
• ジャクソン積分とq-フーリエ変換がq非可換平行移動変数に関して不変であることを確立すること。
• 特にバインドラインを用いたバインド量子群の枠組みを通じて、q特殊関数恒等式を統一することにより、標準的な代数的構造を提供すること。
• 非可換表現が、可換変数の対応物よりもより洗練され、代数的に自然な恒等式を導くことがあることを示すこと。

提案手法

• 代数 $\mathbb{C}_q[x,y]$ において $xy = qyx$ を満たす条件下で、再帰的関係と構成的証明技法を用いて、q二項定理 $(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \left[n\atop k\right]_q y^{n-k}x^k$ を導出する。
• qヘイゼンベルグ関係におけるq指数関数およびq対数関数の関数方程式を導入し、標準的恒等式を非可換設定に一般化する。
• $(-\infty, \infty)$ 上のジャクソン積分を用いてq-フーリエ変換を定義し、q非可換平行移動に関して不変であることを示し、離散qエルミート多項式と関連付ける。
• コマルティプリケーション $\Delta(f(x)) = f(x \otimes 1 + 1 \otimes t)$ を適用し、バインドライン構造を用いてq-フーリエ変換の変換則を導出する。
• 関数 $f(x)$ に対して $\int$ を $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) d_q t$ として定義し、スカラー値積分を形式化し、$\Delta(f(x))$ および $e_q(-ixy)$ に関連する恒等式を導出する。
• フーリエ変換の性質の$q$アナロジーを確立する：$({\rm id} \otimes {\cal F}_y)(\Delta(f(x))) = {\cal F}_y(f(x)) \, E_q(ixy)$。これは古典的シフト性質の一般化である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換でない変数を用いた場合、$xy = qyx$ を満たすq非可換設定に一般化された古典的q特殊関数恒等式（例：q二項定理）はどのように拡張されるか？
• RQ2 ジャクソン積分とq-フーリエ変換がq非可換平行移動変数に関して不変であるための条件は何か？
• RQ3 バインドラインとバインド量子群は、非可換変数を含むq特殊関数恒等式を統一する枠組みをどのように提供するか？
• RQ4 可換バージョンが失敗する場合でも、非可換表現のq超幾何級数が和分可能であることがあるか？
• RQ5 q-フーリエ変換の背後にある代数的構造は何か？また、量子群理論におけるコマルティプリケーションとアンチポーダル写像とどのように関係するか？

主な発見

• q二項定理は、$xy = qyx$ を満たす非可換代数 $\mathbb{C}_q[x,y]$ において成り立ち、係数はq二項係数 $\left[n\atop k\right]_q$ である。再帰的関係を用いた証明がなされた。
• qヘイゼンベルグ関係下で、q指数関数の関数方程式 $e_q(x+y) = e_q(x)e_q(y)$ が成り立ち、古典的指数恒等式が一般化される。
• $( -\infty, \infty )$ 上のジャクソン積分は、q非可換平行移動に関して不変である。コマルティプリケーション $\Delta(f(x)) = \int f(x \otimes 1 + 1 \otimes t) d_q t$ を用いて形式化され、$({\rm id} \otimes \int)\Delta(f(x)) = \int f(x) \cdot 1$ が得られる。
• q-フーリエ変換 $\mathcal{F}_y(f(x)) = \int e_q(-ity) f(t) d_q t$ は、変換則 $({\rm id} \otimes \mathcal{F}_y)(\Delta(f(x))) = \mathcal{F}_y(f(x)) \, E_q(ixy)$ を満たす。これは古典的シフト性質の$q$アナロジーである。
• 古典的畳み込み恒等式の$q$設定への一般化として、恒等式 $({\rm id} \otimes \int)((1 \otimes g(x)) \Delta(f(x))) = ({\rm id} \otimes \int)((S \otimes {\rm id})\Delta(g(x)) \, (1 \otimes f(x)))$ が得られる。
• $n \to \infty$ として $\prod_{k=0}^{n-1} (1 - q^k(x+y - yx + c) + q^{2k}c)$ の中で、qヘイゼンベルグ関係下でのq特殊関数の新たな加法公式が得られる。