[論文レビュー] Special Functions of the Isomonodromy Type, Rational Transformations of Spectral Parameter, and Algebraic Solutions of the Sixth Painlevé Equation

A. V. Kitaev|ArXiv.org|Feb 18, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、スペクトルパラメータの有理変換を、等モノドロミー型特殊関数（SFIT）を用いた第6パンルベ方程式（P₆）の代数的解を構成する手法として導入する。RS変換（有理変換とシュレスラー変換の組み合わせ）を適用することで、明示的な代数的解が得られ、超越的解が特異点を示す複素平面内の特別な点において、計算可能なモノドロミーデータを持つ極または零点を特定する。これにより、級数展開を用いた解の接続が可能になる。

ABSTRACT

We discuss relations which exist between analytic functions belonging to the recently introduced class of special functions of the isomonodromy type (SFITs). These relations can be obtained by application of some simple transformations to auxiliary ODEs with respect to a spectral parameter which associated with each SFIT. We consider two applications of rational transformations of the spectral parameter in the theory of SFITs. One of the most striking applications which is considered here is an explicit construction of algebraic solutions of the sixth Painlevé equation.

研究の動機と目的

• スペクトルパラメータの変換を用いて、第6パンルベ方程式の代数的解を体系的に生成する方法を確立すること。
• 有理変換およびRS変換が、等モノドロミー型特殊関数（SFIT）の間の関係をどのように果たすかを調査すること。
• 独立変数の複素平面上の特別な点を同定し、P₆の超越的解が極または零点を持つ場合に、明示的に計算可能なモノドロミーデータを持つこと。
• これらの特別な点におけるローラン展開またはテイラー展開を活用して、P₆の特定の超越的解の接続問題を解くこと。

提案手法

• 線形常微分方程式 dΨ/dλ = A(λ)Ψ に対して、スペクトルパラメータの有理変換とシュレスラー変換の組み合わせであるRS変換を用い、SFIT間の関係を生成する。
• スペクトルパラメータ λ の分数線形変換を適用し、極配置をマッピングすることで、既知の解から新しい解を導出する。特に第6パンルベ方程式に注目する。
• ジムボ＝ミワの τ 関数を用いて、SFITとシュレスラー系の解とを関連付け、σ(t) および τ(t) の明示的表現を導出する。
• 直交射影子と行列分解をハイパージェオメトリック型方程式の文脈で用い、漸近的展開とモノドロミー情報を用いて解を構成する。
• P₆の解をパrameter化したシュレスラー方程式を用い、t = -1, 1/2, 2 などの特別な点におけるローラン展開を決定する。
• 変換 t → 1/t, α₆ → -β₆ などを含む対合変換を適用し、極解を零解に変換することで、既知の展開を用いて明示的なモノドロミーデータを計算可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトルパラメータの有理変換をどのように用いて、第6パンルベ方程式の代数的解を生成できるか？
• RQ2 独立変数の複素平面上のどの特別な点が、超越的P₆解のローラン展開またはテイラー展開を用いて明示的にモノドロミーデータを計算可能にするか？
• RQ3 RS変換はどのように異なるSFITを関連づけ、既知の解から新しい代数的解を構成可能にするか？
• RQ4 特別な点における既知のモノドロミーを持つ展開を用いて、P₆の超越的解の接続問題を解くことができるか？

主な発見

• RS変換 R₄(2|1+1|2) を用い、λ → μ = λ² とマッピングすることで、第6パンルベ方程式の明示的代数的解が構成され、y₁₂(t) = -√t および y₂₁(t) = -√t × √t の有理関数となる。
• パラメータ θ∞ = α - β, θ₀ = α - β - 1, θ₁ = θₜ = α + β + 1/2 に対応する σ(t) および τ(t) 関数は、σ(t) = ½(β² + α² + β + ¼) - α(1 + 2β)√t - t/16 および τ(t) = Ct^(-1/16)(1 - 1/t)^(½(α² + β² + β + 1/8))((1 + √t)/(1 - √t))^(α(1 + 2β)) で与えられる。
• t = -1, 1/2, 2 において、P₆には少なくとも2つの超越的解が存在する：1つは極を持ち、もう1つは零点を持つ。両者とも、展開から明示的に計算可能なモノドロミー情報を有する。
• 対合変換 (5.25) により、t = -1 における極解が ˆt = -1 における零解に写像され、既知の展開を用いて変換後の解の漸近的挙動とモノドロミー情報を明示的に決定可能となる。
• 本手法により、t = -1, 1/2, 2 といった特別な点が、連続変数空間における超曲面として特定され、解の超越的性質と代数的性質の間の遷移を示すことが明らかになった。これにより、接続問題が解決可能となる。