[論文レビュー] Special geometries, from real to quaternionic

Antoine Van Proeyen|ArXiv.org|Oct 29, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 50被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、4–6次元における8ノンスーパーシンメトリー理論から生じる特殊幾何（実、ケーラー、クaternion的）を統一的に扱うフレームワークを提示する。超共形手法を用い、共形対称性のゲージ固定により射影的特殊幾何を導出し、隠れた双対性対称性を明らかにするとともに、アフィン錐からクaternion的ケーラー空間などのコンパクト多様体への幾何的ブリッジを確立する。超重力理論および弦のコンパクト化への応用を含む。

ABSTRACT

Special geometry is most known from 4-dimensional N=2 supergravity, though it contains also quaternionic and real geometries. In this review, we first repeat the connections between the various special geometries. Then the constructions are given starting from the superconformal approach. Without going in detail, we give the main underlying principles. We devote special attention to the quaternionic manifolds, introducing the notion of hypercomplex geometry, being manifolds close to hyperkaehler manifolds but without a metric. These are related to supersymmetry models without an action.

研究の動機と目的

• 特殊幾何（実、ケーラー、クaternion的）を1つの超共形フレームワーク内で統一的に記述すること。
• N=2超重力理論および関連理論における双対性対称性の幾何的起源を明確にすること。
• 標準的な作用が存在しない場合のハイパーマルチプレットとクaternion的幾何の理解を拡張し、ハイパーコンプレックス構造を導入すること。
• スケールおよびR対称性のゲージ固定によって、アフィン共形幾何から射影的特殊幾何がどのように導かれるかを示すこと。
• 3段階の超共形手法を用いて、物質カップリング超重力作用の体系的構成を提供すること。

提案手法

• D=4,5,6次元における8ノンスーパーシンメトリーを持つmultipletを、超共形テンソル計算を用いて構成する。
• プレポテンシャルおよび結合定数（例：D=5ではC_{IJK}、D=4ではプレポテンシャルF）を用いて、超共形フレームワーク内での不変作用を定義する。
• 共形対称性を破るためにゲージ固定を行う：D=5ではスケール不変性をρ = C_{IJK}h^I h^J h^K = M_P^3で固定、ハイパーマルチプレットでは|k^X g_{XY} k^Y| = M_P^3で固定する。
• ウェイルmultipletに由来するU(1)およびSU(2)ゲージ場の運動方程式を用い、アフィン幾何を射影的特殊幾何（例：特殊ケーラー、クaternion的ケーラー）に昇格させる。
• 作用が存在しない理論に適用可能な、計量を必要としないハイパーコンプレックス幾何を導入する。
• 共形アフィン幾何（符号型(−+++)）をゲージ固定スライスを通じて射影幾何に写像し、ササキアンおよびトライササキアン構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 8ノンスーパーシンメトリーを有する理論において、特殊幾何（実、ケーラー、クaternion的）はどのように統一的超共形構成から生じるか？
• RQ2 ゲージ固定が、アフィン共形幾何を特殊ケーラーまたはクaternion的ケーラー多様体のような射影的特殊幾何に変換する役割は何か？
• RQ3 作用が存在しない超重力モデルにおけるハイパーマルチプレットをハイパーコンプレックス幾何がどのように記述できるか。また、SU(2)構造およびトライササキアン多様体とはどのように関係するか？
• RQ4 クaternion的ケーラー多様体の構成において、|k^X g_{XY} k^Y| = M_P^3という条件の幾何的意義は何か？
• RQ5 N=2超重力理論における双対性対称性は、根本的な超共形構造からどのように生じ、最終的な射影的幾何にどのように現れるか？

主な発見

• 4次元N=2超重力理論における射影的特殊幾何は、ウェイルmultipletのU(1)対称性のゲージ固定から生じ、非ゼロの曲率を持つケーラー＝ホッジ多様体となる。
• 5次元では、スケール不変性をρ = C_{IJK}h^I h^J h^K = M_P^3で固定することにより、錐スライス上に射影的非常に特殊な実幾何が得られる。
• クaternion的ケーラー幾何は、ハイパーケーラー錐からホモセティックキリングベクトルのゲージ固定およびSU(2)ゲージ場の非自明な接続への昇格によって生じる。
• SU(2)ゲージ固定の結果得られる多様体は、非自明な曲率を持つトライササキアン多様体であり、クaternion的ケーラー多様体となる。
• ハイパーコンプレックス幾何は、計量を必要としないが、作用が存在しない理論におけるハイパーマルチプレットの幾何的枠組みを提供し、ハイパーケーラー幾何を一般化する。
• 超共形手法は、不変作用を定義した後、対称性を固定することで、物質カップリング超重力作用を体系的に構成し、整合的な射影的幾何を生み出す。