[論文レビュー] Special identities for quasi-Jordan algebras

Murray R. Bremner, Luiz A. Peresi|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非可換なジョルダン代数の一般化としての準ジョルダン代数における特別な恒等式を調査する。この研究では、アソシエイティブ・ダイアリジブラの枠組みで定義される準ジョルダン積に関する恒等式を、有限体上のコンピュータ代数と対称群の表現論を用いて分析する。その結果、次数 ≤7 のすべての恒等式が3つの基本的恒等式（右可換性、準ジョルダン恒等式、結合子-微分作用素恒等式）から導かれることが示されたが、次数8では6つの新しい恒等式が出現した。これらのうち一部はグレニーの恒等式の非可換な前像である。さらに、1つの変数に関して線形な新しい特別な恒等式が構成され、マクドナルドの特別なジョルダン恒等式に関する定理が準ジョルダン代数へは拡張されないことが示された。

ABSTRACT

Semispecial quasi-Jordan algebras (also called Jordan dialgebras) are defined by the polynomial identities $a(bc) = a(cb)$, $(ba)a^2 = (ba^2)a$, and $(b,a^2,c) = 2(b,a,c)a$. These identities are satisfied by the product $ab = a \dashv b + b \vdash a$ in an associative dialgebra. We use computer algebra to show that every identity for this product in degree $\le 7$ is a consequence of the three identities in degree $\le 4$, but that six new identities exist in degree 8. Some but not all of these new identities are noncommutative preimages of the Glennie identity.

研究の動機と目的

• 代数的ダイアリジブラにおける準ジョルダン積が満たすすべての多項式的恒等式が、3つの既知の恒等式（右可換性、準ジョルダン恒等式、結合子-微分作用素恒等式）の結果であるかどうかを特定すること。
• 次数 ≤4 の既知の恒等式によって導かれない、次数8における特別な恒等式が存在するかどうかを調査すること。
• 古典的なジョルダン代数に関する結果（例：マクドナルドの定理）が、準ジョルダン代数という非可換な設定にどの程度拡張可能かを検討すること。
• 3変数で1変数に関して線形な明示的な特別な恒等式を構成し、それが特殊ジョルダン代数では存在できないことを確認すること。

提案手法

• 有限体 𝔽₁₀₁ 上で大きな行列を用いた計算的線形代数を用い、自由アソシエイティブ・ダイアリジブラにおける多項式的恒等式を分析する。
• 対称群の表現論を応用し、単項式をその結合型と対称性によって分類する。
• 体系的な展開プロセスを用いて、自由右可換代数からの恒等式を自由アソシエイティブ・ダイアリジブラに持ち上げる。
• 係数行列の行簡約階段形（RREF）を101を法として計算し、恒等式関係のランクと核空間を特定する。
• 既知の恒等式の行空間に属さない核空間のベクトルを特定し、それにより新しい特別な恒等式を構成する。その後、有理数算術を用いて ℚ 上でその恒等式を検証する。
• 新しい恒等式が自由アソシエイティブ・ダイアリジブラ上で0に収縮することを確認し、それが有効な特別な恒等式であることを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的ダイアリジブラにおける準ジョルダン積の次数 ≤7 のすべての多項式的恒等式が、次数 ≤4 の3つの既知の恒等式の結果であるか？
• RQ2 代数的ダイアリジブラにおける準ジョルダン積の次数8において、既知の恒等式によって導かれない新しい恒等式が存在するか？
• RQ3 3変数で1変数に関して線形な特別な恒等式が準ジョルダン代数に存在しうるか。また、これはジョルダン代数におけるマクドナルドの定理と矛盾するか？
• RQ4 新しく得られた次数8の恒等式の一部が、グレニーの恒等式の非可換な前像であるか？
• RQ5 古典的な特別なジョルダン代数に関する結果（例：コーンの基準やシルシュォフの定理）が、半特別な準ジョルダン代数へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 代数的ダイアリジブラにおける準ジョルダン積の次数 ≤7 のすべての恒等式が、右可換性、準ジョルダン恒等式、結合子-微分作用素恒等式という3つの基本的恒等式の結果である。
• 次数 ≤4 の恒等式によって導かれない6つの新しい次数8の恒等式が存在し、既知の恒等式基底におけるギャップを示している。
• これらの新しい恒等式の一部はグレニーの恒等式の非可換な前像であるため、古典的な特別なジョルダン恒等式と構造的な関係がある。
• 3変数を含み、1変数に関して線形な296項からなる新しい特別な恒等式が構成され、これは特別なジョルダン代数では存在できない。
• この新しい恒等式が ℚ 上の自由アソシエイティブ・ダイアリジブラ上で0に収縮することを検証し、有効な特別な恒等式であることが確認された。
• 3変数で1変数に関して線形な特別な恒等式の存在は、マクドナルドの定理が準ジョルダン代数へは拡張されないことを示している。