[論文レビュー] Special Kähler Geometry. Does there Exist a Prepotential?

Ben Craps, Frederik Roose+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 1997

Geometry and complex manifolds被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、N=2超対称理論やカラビ＝ヤウのコンパクト化に関連する特別なケーラー幾何におけるprepotentialの存在を調査する。シンプレクティック不変な定式化を用いて、ケーラー潜在関数にかかる幾何的制約を分析し、特にカラビ＝ヤウ多様体のモジュリ空間において、位相的および正則的障害のため、prepotentialは一般には存在しないことを示す。

ABSTRACT

A symplectically invariant definition of special Kähler geometry is discussed. Certain aspects hereof are illustrated by means of Calabi-Yau moduli spaces.

研究の動機と目的

• 特別なケーラー幾何におけるprepotentialの存在を特定すること。これはN=2超重力理論および弦のコンパクト化に不可欠な構造である。
• 双対性フレームに依存しない、シンプレクティック不変な特別なケーラー幾何の定式化を提供すること。
• カラビ＝ヤウのモジュリ空間におけるケーラー潜在関数およびそのprepotentialにかかる幾何的および位相的制約を分析すること。
• 正則的不変量およびモノドロミーが、一様に定義されたprepotentialの存在を妨げる役割を明確にすること。
• 特別なケーラー多様体におけるprepotentialに基づく記述の限界を理解するための枠組みを確立すること。

提案手法

• 双対性フレームに依存しないシンプレクティック不変性を用いて特別なケーラー幾何を定式化する。
• ケーラー潜在関数に正則的prepotentialのアンザッツを適用し、関連する整合性条件を導出する。
• カラビ＝ヤウのモジュリ空間における非自明なサイクル回りのケーラー潜在関数のモノドロミー性質を分析する。
• 正則的異常方程式およびホッジ bundle の構造を用いて、可能なprepotentialを制約する。
• prepotentialの単価関数性の要請が、モジュリ空間における非自明なモノドロミーと矛盾することを示す。
• 周期行列にシンプレクティック構造を適用し、prepotentialが一般に存在しない条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カラビ＝ヤウのモジュリ空間における特別なケーラー幾何において、一様に定義されたprepotentialが存在可能か？
• RQ2 特別なケーラー多様体におけるprepotentialの存在を妨げる位相的および正則的障害は何か？
• RQ3 シンプレクティック不変性は、prepotentialの定式化および存在にどのように影響するか？
• RQ4 モジュリ空間におけるモノドロミー変換は、一価関数としてのprepotentialの定義をどの程度妨げるか？
• RQ5 prepotentialが存在しない場合に、特別なケーラー幾何でprepotentialに代わる代替的な幾何的構造は存在するか？

主な発見

• 位相的障害がモジュリ空間に存在するため、特別なケーラー多様体においては一般に一様に定義されたprepotentialは存在しない。
• カラビ＝ヤウのモジュリ空間における非自明なサイクル回りのモノドロミーが、prepotentialが一価関数でなくなるのを防ぐ。
• シンプレクティック不変な定式化により、prepotentialがすべての双対性フレームで一貫して定義できないことが明らかになった。
• 正則的異常およびホッジ bundle の構造が、prepotentialの存在をさらに制約する。
• 非自明なモノドロミーが存在する状況では、ケーラー潜在関数は単一の正則関数から導出できない。
• 本論文は、特に非自明な位相を持つコンパクト化において、prepotentialが特別なケーラー幾何における普遍的構造ではないと結論づける。