[論文レビュー] Special Kaehler manifolds: a survey

Vicente Cortés|ArXiv.org|Dec 12, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本調査は、特別なケーラー多様体とユークリッド空間内の放物型アフィン超曲面の間の深い幾何的対応関係を確立する。任意の単連結な特別なケーラー多様体は、指定された計量と平坦接続を持つR^{m+1}への一意的な放物型超球面埋め込みを有し、古典的結果を一般化するとともに微分幾何学、ホッジ理論、および理論物理学の数学的構造を結びつける。

ABSTRACT

This is a survey of recent contributions to the area of special Kaehler geometry. It is based on lectures given at the 21st Winter School on Geometry and Physics held in Srni in January 2001.

研究の動機と目的

• 特別なケーラー幾何学における最近の進展を統合的かつ包括的に調査し、その幾何的・物理的・ホッジ理論的意義を強調すること。
• アフィン微分幾何学の基本定理を用いて、特別なケーラー多様体と放物型アフィン超曲面の間の対応関係を確立すること。
• 特別なケーラー構造が、カラビ＝ヤウ多様体のモジュライ空間、ラグランジュ部分多様体、および可積分系においてどのように自然に生じるかを明確にすること。
• 古典的結果であるアフィン超曲面に関する結果を、高次元的・不定値的・非平坦な状況へ一般化すること。

提案手法

• 単連結な特別なケーラー多様体に対して、アフィン微分幾何学の基本定理を用いて、Blaschkeデータ(g, ∇)を持つ埋め込みφ: M → R^{m+1}を構成する。
• 接続∇_X Y, Z) + g(Y, ḡ∇_X Z)という関係により定義されるg-共役接続ḡ∇を導入し、これが捩れがなく、射影的に平坦であることを示す。
• 特別なケーラー多様体において、g-共役接続が∇^J = ∇ - J∇Jに一致することを示し、∇Jの対称性と∇の平坦性を用いる。
• 古典的Calabi-Pogorelov定理を適用し、特別なケーラー多様体上の完全かつ定値計量が平坦性と放物面とアフィン同値であることを示す。
• 射影的特別なケーラー多様体上の標準的な円バンドルを構成し、それが適切な超球面に引き上げられ、計量錐が放物型特別なケーラー多様体であることを示す。
• 非退化な虚部ヘッシアンを持つC^n上の正則関数Fを用いて、表現公式により明示的な放物型超曲面を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特別なケーラー多様体は、どのようにユークリッド空間内のアフィン超曲面として幾何学的に実現可能か？
• RQ2 特別なケーラー多様体上の平坦接続∇がリーマン接続となるための条件は何か？
• RQ3 特別なケーラー構造は、カラビ＝ヤウ3次元多様体のモジュライ空間やラグランジュ部分多様体において、どのように自然に生じるか？
• RQ4 特別なケーラー幾何学において、g-共役接続と複素構造Jとの正確な関係は何か？
• RQ5 c-写像の構成を、剛体な場合に限らず、射影的特別なケーラー構造へ一般化できるか？

主な発見

• 任意の単連結特別なケーラー多様体は、アフィン変換を除いて一意にR^{m+1}への放物型アフィン超球面埋め込みを有し、Blaschkeデータ(g, ∇)を持つ。
• 特別なケーラー多様体上のg-共役接続は∇^J = ∇ - J∇Jに一致し、捩れがなく平坦であるため、アフィン微分幾何学の基本定理の条件を満たす。
• 特別なケーラー多様体上の計量gが完全かつ正定値である場合、∇はリーマン接続であり、gは平坦である。このことは、放物面とアフィン同値であることを意味する。
• C^n上の正則関数Fで、det(Im ∂²F) ≠ 0を満たすものから、R^{2n+1}における明示的な放物型超曲面が生成され、Blaschkeの2次元結果を一般化する。
• 射影的特別なケーラー多様体上の円バンドルの計量錐は、放物型特別なケーラー多様体であり、超球面として埋め込まれる。これは、射影的状況への埋め込み結果の拡張である。
• 任意の特別なケーラー多様体の余接 bundle は、標準的なハイパーケーラー構造を有し、剛体なc-写像構成を幾何学的枠組みで実現する。