[論文レビュー] Special L-values of geometric motives

Jakob Scholbach|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Z 上の幾何的モチーフの特別L値に関する統一的予想を提示し、モチーフ的コホロロジーの負のオイラー標跡 χ(M∨(−1)) を通じて、ベイリンソンの予想、タートの予想、スールェの予想を結びつける。この予想は、タートモチーフおよびアーティン・タートモチーフに対して条件なしで成立し、L*(M,0) がモチーフ的ホモロジーとコホロロジー間のアラケロフ交叉積の行列式によって、有理数倍の意味で一意に定まることを示している。

ABSTRACT

This paper proposes a conjecture on special values of L-functions of geometric motives over Z. This includes L-functions of mixed motives over Q and Hasse-Weil zeta-functions of schemes over Z. We conjecture the following: the order of L(M, s) at s=0 is given by the negative Euler characteristic of motivic cohomology of $M^\vee(-1)$. Up to a nonzero rational factor, the L-value at s=0 is given by the determinant of the pairing of Arakelov motivic cohomology of M with the motivic homology of M. Under standard assumptions concerning mixed motives over Q, $F_p$, and Z, this conjecture is essentially equivalent to the conjunction of Soulé's conjecture about pole orders of zeta-functions of schemes over Z, Beilinson's conjecture about special L-values for motives over Q and the Tate conjecture over $F_p$.

研究の動機と目的

• Z 上のモチーフに対して、特別L値に関するベイリンソンの予想、Fp 上のタート予想、ゼータ関数の極の位数に関するスールェの予想を統合する枠組みを構築すること。
• s=0 における L(M,s) の位数を、M∨(−1) のモチーフ的コホロロジーの負のオイラー標跡で表す予想的公式を提示すること。
• L*(M,0) を、モチーフ的ホモロジーとアラケロフモチーフ的コホロロジー間のアラケロフ交叉積の逆行列式として、有理数倍の意味で表現すること。
• 混合モチーフの構造と実現関手を用いて、タートモチーフに対しては条件なしに、アーティン・タートモチーフに対しては有理数のn乗根の意味で、この予想を証明すること。

提案手法

• s=0 における L(M,s) の位数が、M∨(−1) のモチーフ的コホロロジーの負のオイラー標跡に等しいと予想する。すなわち、ord_{s=0}L(M,s) = −χ(M∨(−1)) である。
• アラケロフ交叉積 π_M: H_{-2}(M,−1) × ŝH^0(M) → ℝ を導入し、これは有限次元 ℝ ベクトル空間上の完全な双一次形式であると予想する。
• シフトされたペアリング π_{M[i]} の行列式の積を Π_M := ∏_i det(π_{M[i]})^{(-1)^i} ∈ ℝ×/ℚ× と定義する。
• Chern類写像 ch: H^n(M) → H^n_D(M) を用い、モチーフ的コホロロジーとデリーニュコホロロジーを関係づけ、長完全列を介してアラケロフモチーフ的コホロロジーを特徴付ける。
• 標準的なモチーフ的圏の仮定の下で、この予想がベイリンソン・スールェ・タート予想の論理的積と同値であることを確立する。
• 数体および有限体のモチーフが生成する三角的部分圏を用いて、タートモチーフに対しては条件なしに、アーティン・タートモチーフに対しては有理数のn乗根の意味で、この予想を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベイリンソンの特別L値に関する予想は、モチーフ的コホロロジーを含む単一の公式によって、タート予想およびスールェ予想と統合可能か？
• RQ2 Z 上の幾何的モチーフに対して、モチーフ的ホモロジーとアラケロフモチーフ的コホロロジー間のアラケロフ交叉積は完全なペアリングか？
• RQ3 特別L値 L*(M,0) は、非ゼロの有理数倍の意味で、アラケロフペアリングの逆行列式に等しいか？
• RQ4 この予想は、タートモチーフおよびアーティン・タートモチーフに対してどの程度条件なしに成立するか？
• RQ5 Z 上のモチーフのL関数の極の位数は、M∨(−1) のモチーフ的コホロロジーのオイラー標跡とどのように関係するか？

主な発見

• s=0 における L(M,s) の位数が、M∨(−1) のモチーフ的コホロロジーの負のオイラー標跡に等しいという予想 ord_{s=0}L(M,s) = −χ(M∨(−1)) は、Z 上のすべてのタートモチーフに対して条件なしに成立する。
• Z 上のすべてのアーティン・タートモチーフに対して、この予想は非ゼロの有理数のn乗根の意味で成立する。
• アラケロフ交叉積 π_M は、完全なペアリングであると予想され、この条件はベイリンソン・スールェの消失とベイリンソン・パーチンの予想と同値である。
• 特別L値 L*(M,0) は、有理数倍の意味で、行列式積 Π_M の逆行列に等しい。すなわち、L*(M,0) ≡ Π_M^{-1} (mod ℚ×) である。
• 任意の smooth かつ projective な代数的多様体 X/ℚ に対して、その特異ホモロジー h^j(X_η) が混合タートモチーフであるとき、ベイリンソンの予想は条件なしに成立する。
• この予想は、標準的なモチーフ的仮定の下で、数的同値とホモロジー同値の同値性を介して、F_p 上の smooth かつ projective な多様体に対するタート予想を含意する。