[論文レビュー] Special Lagrangian conifolds, I: Moduli spaces (extended version)

Tommaso Pacini|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{C}^m$ 内の特別ラグランジュ（SL）コノイドに対して、錐的特異点（CS）および漸近的に錐的（AC）な端を持つ場合を含めた、変形理論を確立する。この理論はMcLeanの理論を一般化し、モジュライ空間が滑らかでかつ有限次元的であることを証明する。その次元は重み付きラプラシアンの指数によって決定され、それぞれCS端とAC端から来る位相的および解析的寄与が存在する。

ABSTRACT

This is the extended version of the paper "Special Lagrangian conifolds, I: Moduli spaces", which discusses the deformation theory of special Lagrangian (SL) conifolds in complex space C^m. Conifolds are a key ingredient in the compactification problem for moduli spaces of compact SLs in Calabi-Yau manifolds. The conifold category allows for the simultaneous presence of conical singularities and of non-compact, asymptotically conical, ends. Our main theorem is the natural next step in the chain of results initiated by McLean and continued by the author and Joyce. We survey all these results, providing a unified framework for studying the various cases and emphasizing analogies and differences. Compared to "Special Lagrangian conifolds, I", this paper contains more detail but the same results. The paper also lays down the geometric foundations for our paper "Special Lagrangian conifolds, II: Gluing constructions in C^m".

研究の動機と目的

• 特別ラグランジュコノイドの統一的変形理論を、錐的特異点と漸近的に錐的である端を含めて開発すること。
• コンパクトなSLに対して成り立つMcLeanの変形理論を、非コンパクトかつ特異的なSLへと拡張し、モジュライ空間のコンパクト化の研究を可能にすること。
• ジョイスのコンパクト化計画において必要とされる、特別ラグランジュコノイドのグルーリング構成の幾何学的および解析的基盤を提供すること。
• 重み付きソボレフ空間上での重み付きラプラシアン作用素の指数を用いて、特別ラグランジュコノイドのモジュライ空間の次元を特徴付けること。
• AC端での減衰条件（compactly supported cohomologyを介して）およびCS特異点（制限写像の消失を介して）が、モジュライ空間の次元にどのように寄与するかを明確にすること。

提案手法

• リーマン的コノイドのカテゴリを、錐的特異点および漸近的に錐的である端を併せ持つ多様体として形式化する。
• AC端とCS端における減衰および成長率を扱うために、重み付きソボレフ空間 $W^{p}_{k,(oldsymbol{\nu},oldsymbol{\rho})}$ を導入する。
• これらの重み付き空間上での重み付きラプラシアン $\Delta_{\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\lambda}}$ を用いて、線形化されたSL変形作用素を分析する。
• 非線形変形写像 $\tilde{F}$ に陰関数定理を適用し、線形化作用素が同型であるとき、その零点集合が滑らかな多様体であることを証明する。
• インデックスの変化公式を用いて、モジュライ空間の次元を、異なる重みにおけるラプラシアンのインデックスの差に結びつける。
• 線形化作用素 $d\tilde{F}[0]$ が同型であることに依拠し、モジュライ空間 $\mathcal{M}_L$ が滑らかでかつ有限次元的であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特別ラグランジュ部分多様体の変形理論を、錐的特異点と漸近的に錐的である端を含む形にどのように拡張できるか？
• RQ2 特別ラグランジュコノイドのモジュライ空間の次元は何か？ そして、AC端での減衰率とCS点における特異性の型にどのように依存するか？
• RQ3 位相的および解析的データ（例えばコhomologyや制限写像）は、モジュライ空間の次元にどのように寄与するか？
• RQ4 適切な重み付きソボレフ推定式のもとで、SLコノイドのモジュライ空間が滑らかでかつ有限次元的であることを示せるか？
• RQ5 重み $\lambda$ が臨界値を越えるとき、特に $\lambda > 0$ のとき、モジュライ空間の次元はどのように変化するか？

主な発見

• 線形化変形作用素が同型である限り、特別ラグランジュコノイドのモジュライ空間 $\mathcal{M}_L$ は滑らかでかつ有限次元的多様体である。
• $\mathcal{M}_L$ の次元は、$\dim(\widetilde{H}_{0,\bullet}) + i(\Delta_{\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\lambda}}) - i(\Delta_{\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\lambda}'})$ で与えられ、ここで $i$ は重み付きラプラシアンのフレドホルム指数を表す。
• 連結なリンクを持つ安定なSL錐 $\mathcal{C} \subset \mathbb{C}^m$ に対して、$\lambda \in (2-m, 0)$ のとき $\mathcal{M}_{\mathcal{C}}$ の次元は 0 であり、このような変形の下での剛性を示している。
• $\lambda \in (1,2)$ のとき、$\mathcal{M}_{\mathcal{C}}$ の次元は $2m$ であり、これは $\mathbb{C}^m$ 内での $\mathcal{C}$ の $2m$ 次元の平行移動族に対応する。
• $\lambda \in (0,1)$ のとき、$\mathcal{M}_{\mathcal{C}}$ の次元は 0 であり、解析的自由度は存在するが、非自明な変形は存在しないことを示している。
• AC端の寄与は、コンパクトに台を持つコhomology によって捉えられ、CS特異点は制限写像の消失を通じて寄与する。これは、補題2.18および注意2.19で形式化されている。