[論文レビュー] Special Lagrangian m-folds in C^m with symmetries

Dominic Joyce|ArXiv.org|Aug 2, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 60

ひとこと要約

この論文は、U(1)^{m-2}-不変なコーンと同調同調性1次元還元を用いて、ℂ^m における高次対称性をもつ特別ラグランジュ m-多様体の明示的族を構成する。m ≥ 3, 4, 5 に対してそれぞれ T^{m-1}、S^2×T^{m-3}、S^3×T^{m-4} 上の特別ラグランジュコーンの存在を、対称性還元から得られる常微分方程式系の解法により証明し、Calabi–Yau多様体における特異点の主要な局所モデルを提供する。SYZ予想に関連するものである。

ABSTRACT

This is the first in a series of papers on special Lagrangian submanifolds in C^m. We study special Lagrangian submanifolds in C^m with large symmetry groups, and give a number of explicit constructions. Our main results concern special Lagrangian cones in C^m invariant under a subgroup G in SU(m) isomorphic to U(1)^{m-2}. By writing the special Lagrangian equation as an o.d.e. in G-orbits and solving the o.d.e., we find a large family of distinct, G-invariant special Lagrangian cones on T^{m-1} in C^m. These examples are interesting as local models for singularities of special Lagrangian submanifolds of Calabi-Yau manifolds. Such models will be needed to understand Mirror Symmetry and the SYZ conjecture.

研究の動機と目的

• Calabi–Yau m-多様体における特別ラグランジュ m-多様体の特異点の明示的局所モデルを構築し、SYZ予想の理解に不可欠である。
• 特に U(1)^{m-2}-不変コーンをもつ、ℂ^m における特別ラグランジュ m-多様体を構成する。
• T^{m-1}、S^2×T^{m-3}、S^3×T^{m-4} などの所定の位相的型と対称性をもつ特別ラグランジュ部分多様体の幾何的例を提供する。
• moment map の還元と実解析的 (m−1)-多様体からの発展を用いて、新しい特別ラグランジュ m-多様体を生成する枠組みを確立する。
• CP^{m-1} における最小ラグランジュトーラスに関する既存の研究と、それらを ℂ^m における特別ラグランジュコーンに引き上げる関係を確立する。

提案手法

• U(1)^{m-2} 対称性の下で、特別ラグランジュ条件を m 個の複素変数 w_1(t), ..., w_m(t) の常微分方程式系に還元する。
• 特別ラグランジュコーンに対して同調同調性1次元還元を適用し、軌道を実数パラメータ t でパラメータ表示し、ラグランジュ条件のための常微分方程式を導出する。
• U(1)^{m-2} 活動の moment map を用いて幾何を制約し、対称性制約を含む常微分方程式系に問題を還元する。
• 拡張された対称性群 R_+ × SU(m) を用いて特別ラグランジュコーンを研究する。
• 定理9.1および命題9.3を適用し、群作用と moment map の等値集合を用いて既存の SL コーンから新しい SL m-多様体を構成する。
• 既知の CP^{m-1} における最小ラグランジュトーラスの結果を活用し、それらを ℂ^m における U(1)^{m-2}-不変特別ラグランジュコーンに引き上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m ≥ 3 に対して、ℂ^m における U(1)^{m-2} 対称性をもつ特別ラグランジュ m-多様体の大きな族を明示的に構成できるか？
• RQ2 U(1)^{m-2} 対称性の下で ℂ^m に存在する特別ラグランジュコーンの位相的型は何か？また、それらの幾何的性質は？
• RQ3 moment map と同調同調性1次元還元は、ℂ^m における特別ラグランジュ部分多様体の構成をどのように簡略化するか？
• RQ4 既存の SL コーンから群作用と moment map の等値集合を用いて特別ラグランジュ m-多様体を生成できるか？
• RQ5 特に c ≠ 0 および c = 0 の場合に、得られる特別ラグランジュ m-多様体の位相的構造と特異点構造は何か？

主な発見

• 論文は、m ≥ 3 に対して、U(1)^{m-2} 対称性の下で常微分方程式系を解くことにより、T^{m-1} 上の特別ラグランジュコーンの大きな族の存在を証明する。
• m ≥ 4 に対して、同じ常微分方程式フレームワークから生じる、S^2×T^{m-3} 上の特別ラグランジュコーンのより小さい族の存在を確立する。
• m ≥ 5 に対して、再び対称性還元された常微分方程式の解を用いて、S^3×T^{m-4} 上の特別ラグランジュコーンの存在を証明する。
• m=3 の場合、U(1)-不変特別ラグランジュコーンについて詳細な解析を行い、既存の文献における結果と同値であることを示す。
• c > 0 の場合、埋め込まれた SL 3-多様体が (T^2×ℝ)/ℤ_2 に微分同相となり、a_3 の偶奇に応じて位相が変化する。a_3 が偶数のとき T^2×ℝ であり、奇数のときクラインのびんに上にある非自明な実直線束である。
• c < 0 の場合、得られる SL 3-多様体は浸漬されている。a_3 が偶数のとき N^{a_1,a_2,a_3}_c は二重の S^1×ℝ^2 であり、a_3 が奇数のとき一つの浸漬された S^1×ℝ^2 であり、c ≠ 0 のとき S^1 に沿って特異的である。