[論文レビュー] Special Lagrangian submanifolds and Algebraic complexity one Torus Actions

Edward Goldstein|ArXiv.org|Mar 30, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、(n−1)-トーラス作用をもつコンパクト代数的多様体における除法の補集合として得られる非コンパクトなカーミー＝ヤウ多様体上に特別ラグランジュ（SLag）ファイブレーションを構成する。正則断面と不変ケーラー計量を用いることで、$M' = M - D$ 上にSLagファイブレーションの存在を示し、これらが、$\mathbb{C}P^4$ 内の五次超曲面や $G(2,4)$ 内のカーミー＝ヤウ超曲面を含む、近傍のカーミー＝ヤウ超曲面へと変形可能であることを示している。これは、やや穏当な位相的・幾何的条件下で成り立つ。

ABSTRACT

In the first part of this paper we consider compact algebraic manifolds M^2n with an algebraic (n-1)-Torus action. We show that there is a T-invariant meromorphic section $σ$ of the canonical bundle of M. Any such $σ$ defines a divisor D. On the complement M'=M-D we have a trivialization of the canonical bundle and a T-action. If the first cohomology of M' vanishes, then results of [2] imply that there is a Special Lagrangian (SLag) fibration on M'. We study how the fibers compactify in M and give examples of SLag fibrations on M', including some cases there the first cohomology of M' doesn't vanish. In the second part of the paper we study Calabi-Yau hypersurfaces in M. We assume that $σ$ is an inverse of a holomorphic section $η$ of the anti-canonical bundle of M. We will see that under certain assumptions one can choose a holomorphic volume form on the smooth part D' of the divisor D s.t. orbits of the T-action give a SLag fibration on D' with respect to the metric, induced from M. Transversal sections $η_j$ near $η$ define smooth Calabi-Yau hypersurfaces D_j in M. We will show that one can deform the SLag fibration on D' to SLag fibrations on large parts of D_j. This construction applies for instance for D_j being quintics in CP^4 or Calabi-Yau hypersurfaces in the Grassmanian G(2,4).

研究の動機と目的

• 非コンパクトカーミー＝ヤウ多様体上に、トーラス作用を用いた特別ラグランジュファイブレーションの一般化を構成すること。
• 補集合 $M' = M - D$ が $H^1(M',\mathbb{R}) = 0$ を満たすとき、その上に特別ラグランジュファイブレーションがどのように埋め込まれるかを、周囲のコンパクト代数的多様体 $M$ 内で調べること。
• 除法 $D$ の滑らか部分 $D'$ 上の特別ラグランジュファイブレーションを、近傍の滑らか超曲面 $D_j$ へと変形することで、$M$ 内のカーミー＝ヤウ超曲面へと構成を拡張すること。
• 具体的な例として、$\mathbb{C}P^4$ 内の五次超曲面や、グラスマン多様体 $G(2,4)$ 内のカーミー＝ヤウ超曲面への応用を示すこと。
• より高次元のトーラス作用を用いて、完全交差カーミー＝ヤウ部分多様体への枠組みの一般化を試みること。

提案手法

• コンパクト代数的 $2n$-多様体 $M$ に $(n-1)$-トーラス作用を持つ場合、その正則断面 $\sigma$ を用いて canonical bundle $K_M$ 上の $T$-不変な有理型断面を構成する。
• $\sigma$ を用いて除法 $D$ を定義し、$M' = M - D$ が自明化された canonical bundle を持ち、$T$-作用を引き継ぐことを示す。
• 文献[2]の結果を応用し、$H^1(M',\mathbb{R}) = 0$ のとき、$T$-不変ケーラー形式を用いて $M'$ 上に特別ラグランジュファイブレーションの存在を導く。
• 収束する $T$-不変断面 $\eta$ に近い、横断的断面 $\eta_j$ で定義されるカーミー＝ヤウ超曲面 $D_j$ に対して、$D'$ 上のSLagファイブレーションを、$T$-不変部分集合に近いコンパクト部分集合上へと変形する。
• モーメント写像の技法とホモロジー類のホモトピー不変性を用いて、変形の過程でもファイブレーション構造が保たれることを示す。
• 反正則バンドルの分解と $T$-不変断面を用いて、$\mathbb{C}P^5$ 内の完全交差カーミー＝ヤウ部分多様体への構成を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト代数的多様体 $M$ に $(n-1)$-トーラス作用を持つ場合、canonical bundle の有理型断面から得られる除法 $D$ の補集合 $M' = M - D$ 上に特別ラグランジュファイブレーションを構成できるか。
• RQ2 このような $M'$ 上のSLagファイブレーションのファイバーは、周囲の多様体 $M$ 内でどのようにコンパクト化されるか。
• RQ3 $D$ の滑らか部分 $D'$ 上のSLagファイブレーションを、近傍の滑らかカーミー＝ヤウ超曲面 $D_j$ 上のSLagファイブレーションへと変形できるか。
• RQ4 本構成は、$\mathbb{C}P^4$ 内の五次超曲面や $G(2,4)$ 内のカーミー＝ヤウ超曲面といった具体的な例へ適用可能か。
• RQ5 より高次元のトーラス作用を用いて、完全交差カーミー＝ヤウ部分多様体への方法の拡張は可能か。

主な発見

• $(n-1)$-トーラス作用を持つコンパクト代数的多様体 $M$ に対して、canonical bundle 上に $T$-不変な有理型断面 $\sigma$ が存在し、これにより除法 $D$ が定義され、$M' = M - D$ が自明化された canonical bundle を持つ。
• $H^1(M',\mathbb{R}) = 0$ のとき、任意の $T$-不変ケーラー形式に関して、$M'$ は特別ラグランジュファイブレーションを有する。
• 収束する $T$-不変断面 $\eta$ に近い断面 $\eta_j$ で定義されるカーミー＝ヤウ超曲面 $D_j$ に対して、除法 $D$ の滑らか部分 $D'$ 上のSLagファイブレーションは、$D_j$ の大部分へと変形可能である。
• 本構成は、$\mathbb{C}P^4$ 内の五次超曲面や、グラスマン多様体 $G(2,4)$ 内のカーミー＝ヤウ超曲面へ適用可能であり、これらの超曲面の大部分にSLagファイブレーションが存在する。
• 本手法は、$\mathbb{C}P^5$ 内の完全交差カーミー＝ヤウ部分多様体、例えば2つの3次超曲面の交差などに対しても一般化可能であり、反正則バンドルの分解と $T$-不変断面を用いる。
• すべての場合において、$D_j$ 上のファイバーのホモトピー類は、$D'$ 上のそれらと同じホモロジー類を表しており、変形の過程でも位相的整合性が保たれている。