[論文レビュー] Special Linear Series and Syzygies of Canonical Curves of Genus 9

Michael Sagraloff|ArXiv.org|May 30, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかで、既約で、 canonical な genus 9 曲線の Betti 表を完全に分類し、これらの表と曲線上の特別な線形系列（例：$g^1_5$, $g^2_7$）の数や種別との直接的な対応関係を確立する。Clifford 指数 3 の曲線は必ず五角的であることが示され、その syzygy 分解はスクロールを用いて構成される。主な結果として、7 種類の可能な Betti 表の完全なリストが得られ、平面的五次曲線モデル上の二重点からの射影を用いた $g_5^1$ 線形系列の特徴付けがなされる。

ABSTRACT

In this thesis we give a complete description of the syzygies of irreducible, nonsingular, canoncial curves $C$ of genus 9. This includes a collection of all possible Betti tables for $C$. Moreover a direct correspondence between these Betti tables and the number and types of special linear series on $C$ is given. Especially for $\operatorname{Cliff}(C)=3$ the curve $C$ is contained in determinantal surface $Y$ on a 4-dimensional rational normal scroll $X\subset \mathbb{P}^8$ constructed from a base point free pencil of divisors of degree 5.

研究の動機と目的

• 滑らかで、既約で、canonical な genus 9 曲線の Betti 表の完全な分類を提供すること。
• このような曲線上の Betti 表と特別な線形系列（例：$g^1_5$, $g^2_7$）の数や種別との直接的な対応関係を確立すること。
• Clifford 指数 3 の曲線が五角的であることを特徴付け、その syzygy 分解の構造を特定すること。
• 3 個の $g^1_5$ 線形系列の存在が $g^2_7$ の存在を示唆することを証明し、スクロール構成と変形理論を用いてこれを検証すること。

提案手法

• 次数 5 の基点をもたない線形系列の-pencil から、$\mathbb{P}^8$ 内の 4 次元の rational normal scroll $X$ を構成し、canonical 曲線 $C$ を含むようにする。
• $\mathcal{O}_X$ と $\omega_X$ の最小自由分解へのマッピングコーンを用いて、$\mathcal{O}_C$ の $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^8}$-加群としての分解を計算する。
• Riemann-Roch とコhomology 計算を用いて、次数 5 の除数 $D$ に対して $H^0(C, \mathcal{O}_C(nD))$ の次元を決定し、スクロールの種別を $S(2,1,1,1)$、$S(2,2,1,0)$、または $S(3,1,1,0)$ に分類する。
• 次数 7 の平面的モデル上の二重点からの射影を用いて $g^1_5$ 系を導出し、$C$ の Clifford 指数が 3 のとき、これらがすべての such 線形系列を占めることを示す。
• 変形理論と行列式的曲面の理論を用いて、さまざまな線形系列の条件の下で Betti 表の存在と一意性を検証する。
• コンピュータ支援計算を用いて Betti 表を検証し、以前の Schreyer の genus 9 曲線に関する予想と照合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで、既約で、canonical な genus 9 曲線のすべての可能な Betti 表は何か？ そして、それらは曲線の特別な線形系列とどのように関係するか？
• RQ2 genus 9 の canonical 曲線の Clifford 指数が、その最小自由分解の構造にどのように影響するか？
• RQ3 genus 9 曲線上に複数の $g^1_5$ 線形系列が存在する場合、それらを用いて $g^2_7$ の存在を示唆できるか？
• RQ4 Clifford 指数 3 の canonical 曲線の幾何的構造は何か？ また、それはスクロールにどのように埋め込まれるか？
• RQ5 このような曲線の syzygy は、rational normal scroll 上の行列式的曲面の幾何からどのように生じるか？

主な発見

• 滑らかで、既約で、canonical な genus 9 曲線には、特別な線形系列の異なる配置に対応する、ちょうど 7 種類の異なる Betti 表が存在する。
• Clifford 指数 3 の canonical 曲線は、必ず五角的である。つまり、$g^1_5$ 線形系列をもつ。
• 3 個の $g^1_5$ 系の存在は、$g^2_7$ 系の存在を示唆し、これは平面的五次曲線モデルに 6 個の二重点を持つことによって幾何的に実現される。
• 6 個の $g^1_5$ 系と $g^2_7$ 系をもつ曲線の Betti 表は、一意に定まり、$\beta_{1,2} = 64$, $\beta_{1,3} = 70$, $\beta_{1,4} = 24$, $\beta_{2,4} = 24$, $\beta_{2,5} = 70$, $\beta_{2,6} = 64$, $\beta_{3,7} = 1$ であり、他のすべての $\beta_{i,j} = 0$ である。
• Clifford 指数 3 の四角的曲線（tetragonal curve）の Betti 表は、$\beta_{1,2} = 64$, $\beta_{1,3} = 75$, $\beta_{1,4} = 44$, $\beta_{2,4} = 44$, $\beta_{2,5} = 75$, $\beta_{2,6} = 64$, $\beta_{3,7} = 1$ で特徴づけられ、$g^2_6$ または $g^3_8$ 系の不在が確認される。