[論文レビュー] Special metric structures and closed forms

Frederik Witt|ArXiv.org|Feb 21, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 51被引用数 43

ひとこと要約

本学位論文は、$Spin(7,7)$ や $Spin(8,8)$ からの $G_2\times G_2$ や $Spin(7)\times Spin(7)$ への還元を安定化する閉じた偶形式または奇形式を用いて、多様体上の一般化された $G_2$-構造および $Spin(7)$-構造を導入し、可積分性のための変分的枠組みを確立する。可積分性条件が、NS-NS フラックスを伴う type IIA/B スーパーグラビティにおけるスーパーシンメトリー方程式と同値であることを証明し、T双対性を用いて非自明なコンパクト例を構成するが、リッチテンソルの制約により、コンパクト多様体上では自明な解しか存在しないことを示す。

ABSTRACT

The primary aim of this thesis is to investigate metrics which are induced by a differential form and arise as a critical point of Hitchin's variational principle. Firstly, we investigate metrics associated with the structure group PSU(3) acting in its adjoint representation. We derive various obstructions to the existence of a topological reduction to PSU(3). For compact manifolds, we also find sufficient conditions if the PSU(3)-structure lifts to an SU(3)-structure. We give a Riemannian characterisation of topological PSU(3)-structures through an invariant spinor valued 1-form and show that the PSU(3)-structure is integrable if and only if the spinor valued 1-form defines a co-closed Rarita-Schwinger field. Moreover, we construct non-symmetric (compact) examples. Secondly, we consider even or odd forms which can be naturally interpreted as spinors for a spin structure on $T\oplus T^*$. As such, the forms we consider induce a reduction from $Spin(7,7)$ to $G_2 imes G_2$. We give a topological classification of $G_2 imes G_2$-structures. We prove that the condition for being a critical point is equivalent to the supersymmetry equations on spinors in supergravity theory of type IIA/B with NS-NS background fields. Examples are systematically constructed by the device of T-duality.

研究の動機と目的

• $T \oplus T^*$ 上の signature $(n,n)$ 内積を持つ閉形式を用いた $G_2$-および $Spin(7)$-構造の一般化。
• 安定化形式と de Rham コホロロジーにおける臨界点を用いた、可積分構造のための変分原理の確立。
• スピン形式値 1-形式およびねじれ付きディラック作用素による可積分性の特徴づけ。
• $G_2\times G_2$-構造のトポロジカルな分類（縦ホモトピーに関して）および非自明なコンパクト例の構成。
• 可積分性条件が、NS-NS バックグラウンドを持つ type IIA/B スーパーグラビティにおけるスーパーシンメトリー方程式と関連することの特定。

提案手法

• 安定化形式を $\Omega^p(M)$ 内に用い、$GL(TM)$ の還元を $PSU(3)$, $G_2$, $Spin(7)$ などの安定化部分群へ誘導する。
• $T \oplus T^*$ 上の一般化された計量構造を、縮約を用いて signature $(n,n)$ 内積として定義する。
• 偶形式または奇形式を $Spin(n,n)$ のスピンとして表現し、$G_2\times G_2$ や $Spin(7)\times Spin(7)$ への還元を導く。
• 体積汎関数の臨界点として可積分性を定義する、閉形式上の制約付き変分問題を定式化する。
• $S^1$-バンドル上で T 双対性を用い、$P$ 上の構造と双対構造 $P^t$ を関連させ、ねじれおよび偶奇型を変換する。
• ねじれ付きディラック作用素を用いて、調和なスピン形式値 1-形式が、可積分な $PSU(3)$-構造と同値であることを特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体上に $PSU(3)$-構造が存在するための必要十分なトポロジカル障害は何か？
• RQ2 一般化された $G_2$-および $Spin(7)$-構造は、$T \oplus T^*$ 上の閉形式を用いてどのように定義され、その幾何的性質は何か？
• RQ3 一般化された形式における可積分性条件と、NS-NS バックグラウンドを持つ type IIA/B スーパーグラビティにおけるスーパーシンメトリー方程式との関係は何か？
• RQ4 T 双対性は一般化された $G_2$-および $Spin(7)$-構造をどのように変換し、どのような新しい例が構成可能か？
• RQ5 このような一般化された構造を許容するコンパクト多様体の曲率およびリッチテンソルの性質は何か？

主な発見

• 可積分な $PSU(3)$-構造は、構造が $SU(3)$-構造に引き上げられる場合に限り、コンパクト多様体上に存在し、トライアリティ類によってトポロジカル障害が生じる。
• トポロジカルな $PSU(3)$-構造は、ねじれ付きディラック作用素の下での調和なスピン形式値 1-形式によって特徴づけられる。
• 一般化された $G_2$-および $Spin(7)$-構造は、$Spin(7,7)$ や $Spin(8,8)$ 内の $G_2\times G_2$ や $Spin(7)\times Spin(7)$ への還元を安定化する閉形式によって定義される。
• 可積分性条件は、NS-NS バックグラウンドを持つ type IIA/B スーパーグラビティにおけるスーパーシンメトリー方程式と同値である。
• このような構造がコンパクト多様体上に存在する場合、リッチテンソルは消えるため、自明な解しか存在しない。
• 非自明な局所例として、$S^1$-ファイブレーション上での T 双対性を用いて、偶型および奇型の閉じた可積分な一般化された $Spin(7)$-構造が構成される。