[論文レビュー] Special Orthogonal Group SO(3), Euler Angles, Angle-axis, Rodriguez Vector and Unit-Quaternion: Overview, Mapping and Challenges

Hashim A. Hashim|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2019

Aerospace Engineering and Control Systems被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、3次元空間におけるアタチュード表現の包括的概説を提供する。SO(3)、オイラー角、角度軸、ロドリゲス・ベクトル、ユニット・クaternionのパrameterizationを用い、それらの間の写像関係、主要なダイナミクスおよび誤差モデルの導出、およびオイラー角における特異点やユニット・クォータニオンにおける一意性の欠如といった重要な課題を特定する。本稿は、航空宇宙およびロボット工学分野における堅牢なフィルタおよび制御設計に不可欠なツールを提供する。

ABSTRACT

The attitude of a rigid-body in the three dimensional space has a unique and global definition on the Special Orthogonal Group SO (3). This paper gives an overview of the rotation matrix, attitude kinematics and parameterization. The four most frequently used methods of attitude representations are discussed with detailed derivations, namely Euler angles, angle-axis parameterization, Rodriguez vector, and unit-quaternion. The mapping from one representation to others including SO (3) is given. Also, important results which could be useful for the process of filter and/or control design are given. The main weaknesses of attitude parameterization using Euler angles, angle-axis parameterization, Rodriguez vector, and unit-quaternion are illustrated. Keywords: Special Orthogonal Group 3, Euler angles, Angle-axis, Rodriguez Vector, Unit-quaternion, SO(3), Mapping, Parameterization, Attitude, Control, Filter, Observer, Estimator, Rotation, Rotational matrix, Transformation matrix, Orientation, Transformation, Roll, Pitch, Yaw, Quad-rotor, Unmanned aerial vehicle, Robot, spacecraft, satellite, UAV, Underwater vehicle, autonomous, system, Pose, literature review, survey, overview, comparison, comparative study, body frame, identity, origin, dynamics, kinematics, Lie group, inertial frame, zero, filter, control, estimate, observation, measurement, 3D, three dimensional space, advantage, disadvantage.

研究の動機と目的

• 3次元空間における最も一般的なアタッチメントパrameterization（SO(3)、オイラー角、角度軸、ロドリゲス・ベクトル、ユニット・クォータニオン）を統合的に概説すること。
• 主なアタッチメント表現間の明示的写像関係を導出し、パrameterization間でのシームレスな変換を可能にすること。
• 各パrameterization法における根本的な制限および課題（特異点、一意性の欠如など）を特定・分析すること。
• 各表現のアタッチメント誤差ダイナミクス、測定モデル、更新則を導出することで、堅牢なフィルタおよび制御設計を支援すること。

提案手法

• 直交変換およびロドリゲスの公式を用いて、SO(3)から各パrameterizationへの回転行列写像を導出する。
• 三角関数的およびベクトル的恒等式を用いて、オイラー角、角度軸、ロドリゲス・ベクトル、ユニット・クォータニオン間の前向きおよび逆写像を確立する。
• クォータニオン乗算およびベクトル外積を用いて、センサ測定モデルを含む、連続的および離散的時間のユニット・クォータニオンアタッチメントダイナミクスを構築する。
• 対数写像および接空間射影を用いて、ロドリゲス・ベクトルおよびユニット・クォータニオンに基づくアタッチメント誤差ダイナミクスを定式化する。
• ベー作用素および反対称行列表現を用いて、回転行列から角速度および誤差状態に変換する。
• 回転群構造に不変であるように、SO(3)上での正規化されたユークリッド距離を用いてアタッチメント誤差指標を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オイラー角、角度軸、ロドリゲス・ベクトル、ユニット・クォータニオンといった異なるアタッチメントパrameterizationは、SO(3)および互いにどのように写像されるか？
• RQ2 特にユニット・クォータニオンおよびロドリゲス・ベクトルに関して、各パrameterizationにおけるアタッチメント進化を支配する動的方程式は何か？
• RQ3 各表現における固有の特異点および一意性の欠如の問題は何か？ それらは推定および制御システムにどのように影響を与えるか？
• RQ4 観測器およびフィルタ設計に使用するため、異なるパrameterization間で一貫してアタッチメント誤差および誤差ダイナミクスを定義する方法は何か？
• RQ5 これらの写像関係および制限は、リアルタイム制御および推定応用に実際どのような影響を及えるか？

主な発見

• SO(3)上の回転行列表現は、オイラー角やロドリゲス・ベクトルとは異なり、一意的でグローバルかつ特異点のない3次元姿勢の記述を提供する。
• オイラー角は、特定の設定（例：ピッチ = ±90°）でジンバル・ロックを起こし、1つの自由度を失う。
• ロドリゲス・ベクトルおよび角度軸パrameterizationは、それぞれ回転角度が0°および180°の際に特異的になる。これは逆写像における0除算に起因する。
• ユニット・クォータニオンは特異点を回避するが、qと-qが同じ回転を表すため一意性に欠ける。これは推定における誤差収束を複雑にする。
• ユニット・クォータニオンからロドリゲス・ベクトルへの写像はρ = q/q₀（q₀ ≠ 0）で与えられ、逆写像には正規化が必要で、特異点を回避する。
• ユニット・クォータニオンの更新則は、連続時間ダイナミクスdQ/dt = (1/2)Q ⊗ ω（ωは角速度ベクトル）を用いて導出され、フィルタ内での安定統合を可能にする。