[論文レビュー] Special points on the product of two modular curves

Bas Edixhoven|ArXiv.org|Oct 11, 1996

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、虚二次体に対する一般化リーマン予想の下で、無限個の複素乗法（CM）点を含む、2つのモジュラー曲線の積内の既約曲線が、必ずヘッケ対応または射影写像のファイバーであることを証明する。これは、シャイマリ多様体におけるCM点のザリスキ閉包が部分シャイマリ多様体であるというオールトの予想に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

We prove, assuming the Generalized Riemann Hypothesis for imaginary quadratic fields, that irreducible curves in the product of two modular curves that contain infinitely many complex multiplication points are either a Hecke correspondence or a fibre for one of the two projections. This gives evidence for a conjecture of Oort that says that irreducible components of the Zariski closure of a set of CM points in a Shimura variety are sub Shimura varieties.

研究の動機と目的

• 2つのモジュラー曲線の積内の、無限個の複素乗法（CM）点を含む既約曲線の構造を調査すること。
• ザリスキ閉包がCM点の部分多様体であるというオールトの予想を検証し、その証拠を提供すること。
• 数論的仮定の下で、このような曲線の正確な幾何的性質を特定すること。
• CM点の分布に基づいて、2つのモジュラー曲線の積内の特殊部分多様体の分類を確立すること。

提案手法

• 虚二次体に対する一般化リーマン予想（GRH）を用いて、曲線上のCM点の分布と密度を制御する。
• 特にヘッケ対応の理論とモジュラー曲線の幾何学を用いた算術幾何の技法を用いる。
• 複素乗法の理論およびヘッケ作用素がモジュラー曲線上に与える作用に関する結果を適用する。
• 背理法を用い、曲線が無限個のCM点を含むがヘッケ対応でも射影のファイバーでもないと仮定し、GRHを用いて矛盾を導く。
• ザリスキ閉包とその因子への射影写像における振る舞いに基づく分類を行う。
• モジュラー性およびガロア表現の技法を用いて、曲線上の点の算術的性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのモジュラー曲線の積内のどの幾何的タイプの曲線が無限個のCM点を含むことができるか？
• RQ2 どのような条件下で、このような曲線がヘッケ対応でも射影のファイバーでもなくなるか？
• RQ3 一般化リーマン予想は、モジュラー曲線の積内の曲線上のCM点の分布をどのように制約するか？
• RQ4 このような積におけるCM点のザリスキ閉包が、オールトの予想が予測する部分シャイマリ構造をどの程度反映しているか？
• RQ5 2つのモジュラー曲線の積内の特殊部分多様体の分類を、ヘッケ対応とファイバーに還元できるか？

主な発見

• 虚二次体に対する一般化リーマン予想の下で、2つのモジュラー曲線の積内の任意の既約曲線が無限個のCM点を含むならば、それは必ずヘッケ対応または2つの射影のいずれかのファイバーである。
• この結果は、シャイマリ多様体におけるCM点のザリスキ閉包が部分シャイマリ多様体であるというオールトの予想に対する強い条件付き証拠を提供する。
• GRHの仮定の下で分類は完全であり、それ以外のタイプの曲線が無限個のCM点を含むことは不可能である。
• 証明は明確な二分法を確立する：この文脈では、ヘッケ対応とファイバーのどちらかでなければ、無限個のCM点集合を支持できない。
• 結果はGRHに依存するが、シャイマリ多様体における特殊点の算術幾何を理解する上で顕著な一歩を示している。
• 本研究は、GRHが高次元のモジュライ空間におけるCM点の分布とそのザリスキ閉包を制御する上でいかに強力であるかを示している。