[論文レビュー] Special scale-invariant occupancy of phase space makes the entropy Sq additive

Constantino Tsallis, Murray Gell‐Mann+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2005

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、N 個の等しい部分系が特別なスケール不変性を持つ相関を示す場合、非加法的エントロピー Sq が厳密に加法的となり、Sq(N) = N Sq(1) を満たすことを示している。これはボルツマン＝ギブズエントロピー S_BG とは対照的であり、このような相関を持つ系では S_BG は加法的でない。主な結果は、これらの特定の相関のもとで Sq が広義に加法的（extensive）に振る舞うことであり、スケールフリー構造を持つ複雑系における加法性の新たなメカニズムを提供する。

ABSTRACT

Phase space can be constructed for $N$ equal subsystems that could be (probabilistically) either independent or correlated. If they are independent, Boltzmann-Gibbs entropy $S_{BG} \equiv -k \sum_i p_i \ln p_i$ is {\it strictly additive} in the sense that $S_{BG}(N)=N S_{BG}(1)$. If they have (collectively) special scale-invariant correlations, the entropy $S_q\equiv k [1- \sum_i p_i^q]/(q-1)$ (with $S_1=S_{BG}$) satisfies, for some value of $q e1$, $S_q(N)=NS_q(1)$, and is therefore additive, hence {\it extensive}. We exhibit two paradigmatic systems (one discrete and one continuous) for which the entropy $S_q$ is additive, whereas $S_{BG}$ is nonextensive, i.e., neither strictly nor asymptotically additive. We conjecture that this mechanism is deeply related to the nearly ubiquitous emergence, in natural and artificial complex systems, of scale-free structures.

研究の動機と目的

• 相関のある部分系を持つ系において、非加法的エントロピー Sq が厳密に加法的となる条件を特定すること。
• 集団的相関を持つ系において、Sq とボルツマン＝ギブズエントロピー S_BG の挙動を対比すること。
• スケール不変性を持つ相関が、Sq に対して加法性を回復させ、S_BG が非加法的となるような系において、Sq が広義に加法的になることを示すこと。
• Sq が加法的である一方で S_BG が非加法的である、代表的な離散的および連続的系を提示すること。
• このメカニズムと、複雑系におけるスケールフリー構造の広範な出現との間に深い関連性があると仮説を立てること。

提案手法

• N 個の等しい部分系の位相空間を構築し、独立状態と相関状態の両方を許容する。
• 非加法的エントロピー Sq = k[1 - Σp_i^q]/(q-1) を定義し、q → 1 のとき Sq → S_BG となることを示し、特定の相関構造の下での加法性を分析する。
• 部分系全体にわたってべき乗則スケーリングを保存する特別なスケール不変性を持つ相関のクラスを導入する。
• 離散的および連続的の2つのモデル系を分析し、相関があっても Sq が厳密に加法的（Sq(N) = N Sq(1)）であることを示す。
• 解析的および統計力学的手法を用いて、これらの相関のもとで Sq が加法的であることが確認され、S_BG はそうではないことを検証する。
• Sq の加法性は、独立性ではなく、相関のスケール不変性に起因することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N 個の相関のある部分系からなる系において、非加法的エントロピー Sq がどのような条件下で厳密に加法的となるか。
• RQ2 スケール不変性を持つ相関は、一般の相関と比べてエントロピーの加法性にどのように異なる影響を与えるか。
• RQ3 なぜ Sq は S_BG が非加法的となる相関のある系においても広義に加法的であるのか。
• RQ4 離散的および連続的系の両方が、同じ相関メカニズムのもとで Sq の加法性を示せるか。
• RQ5 このエントロピーの加法性メカニズムと、複雑系におけるスケールフリー構造の出現との間に、潜在的な関連性はあるか。

主な発見

• 特別なスケール不変性を持つ相関を持つ系では、非加法的エントロピー Sq が Sq(N) = N Sq(1) を満たし、厳密に加法的である。
• これに対して、ボルツマン＝ギブズエントロピー S_BG はこのような系では非加法的であり、厳密的または漸近的にも加法的でない。
• 代表的な2つの系（1つは離散的、もう1つは連続的）を構築し、Sq は加法的であるが S_BG はそうではないことを示した。
• Sq の加法性は、相関のスケール不変性に直接関連しており、統計的独立性とは無関係である。
• このメカニズムは、複雑系におけるスケールフリー構造の広範な出現の根本的根拠を示唆する。
• 結果は、スケール不変性を持つ相関が、自然界および人工系におけるスケールフリー組織の近似的な普遍的出現を規定している可能性があるという仮説を支持する。