[論文レビュー] Special Symplectic Connections

Michel Cahen, Lorenz Schwachhöfer|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、特別なシンプレクティック接続——余接がなく、追加の曲率制約を満たすシンプレクティック接続——の概念を導入し、ボーチャー・ケーラー、ボーチャー・バイラグランジアン、リッチ型、特別なホロノミー接続を統一する。すべてのこのような接続が、放物的接触多様体のシンプレクティック還元として得られることを証明し、局所的に標準的な同値関係を確立し、コンパクトかつ単連結な特別なシンプレクティック多様体の分類を可能にする。

ABSTRACT

By a special symplectic connection we mean a torsion free connection which is either the Levi-Civita connection of a Bochner-Kähler metric of arbitrary signature, a Bochner-bi-Lagrangian connection, a connection of Ricci type or a connection with special symplectic holonomy. A manifold or orbifold with such a connection is called special symplectic. We show that the symplectic reduction of (an open cell of) a parabolic contact manifold by a symmetry vector field is special symplectic in a canonical way. Moreover, we show that any special symplectic manifold or orbifold is locally equivalent to one of these symplectic reductions. As a consequence, we are able to prove a number of global properties, including a classification in the compact simply connected case.

研究の動機と目的

• ボーチャー・ケーラー、ボーチャー・バイラグランジアン、リッチ型、特別なホロノミーといった、異なるクラスのシンプレクティック接続を、一つの幾何的枠組みで統一すること。
• すべての特別なシンプレクティック多様体が局所的に放物的接触多様体のシンプレクティック還元として得られることを確立すること。
• コンパクトかつ単連結な特別なシンプレクティック多様体に対するグローバル分類結果を証明すること。
• 特に2-可加的リー代数と随伴軌道を含む、リー理論的構造がこのような接続を構成する上で果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 2-可加的単純リー代数における最大根ベクトルの随伴軌道を用いて、放物的接触多様体を構成する。
• 対称性ベクトル場のフローによるシンプレクティック還元を適用し、標準的なシンプレクティック構造を持つ多様体を得る。
• このような還元から得られる接続を特別なシンプレクティック接続と定義し、そのタイプを基になるリー代数によって決定する。
• ホロノミーと曲率分解の技法を用いて、リッチ型接続および特別なホロノミー接続を特徴付ける。
• 実形式とホフプ法を用いた実および複素構造を用いて、グローバル性質を分析する。
• ホモトピーおよび被覆空間の議論を用いて、コンパクトな場合の位相的障害を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての特別なシンプレクティック接続は、局所的に放物的接触多様体のシンプレクティック還元として実現可能か？
• RQ2 特別なシンプレクティック接続と、2-可加的リー代数内の随伴軌道の幾何学的性質との関係は何か？
• RQ3 コンパクトかつ単連結な多様体は、複素単純リー代数に付随する特別なシンプレクティック接続を有するか？
• RQ4 曲率分解（リッチ型、ボーチャー型）は、シンプレクティック幾何学におけるホロノミーと可積分性条件とどのように関係するか？
• RQ5 コンパクトかつ単連結な特別なシンプレクティック多様体に対して、どのような位相的障害が生じるか？

主な発見

• すべての特別なシンプレクティック多様体またはオビットは、局所的に放物的接触多様体のシンプレクティック還元と同値である。
• 放物的接触多様体の開集合におけるシンプレクティック還元が、対称性ベクトル場のフローによって行われると、自然に特別なシンプレクティック接続を備えた多様体が得られる。
• コンパクトかつ単連結な多様体に対しては、複素単純リー代数に付随する特別なシンプレクティック接続を有する多様体は存在しない。
• リー代数の実形式により、実還元が非コンパクト多様体を導くため、フロー群が非コンパクトであればコンパクト性と矛盾する。
• コンパクトかつ単連結な特別なシンプレクティック多様体が存在するならば、実フローグループはS¹に同型でなければならないが、これは実形式の仮定に反する。
• 特別なシンプレクティック接続のタイプと、次元が14以上である単純な2-可加的リー代数の間には、1対1の対応関係が存在する。