[論文レビュー] Special values and integral representations for the Hurwitz-type Euler zeta functions

Su Hu, Daeyeoul Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2015

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ひとこと要約

本稿は、フーリエ展開技術を用いて、Hurwitz型Eulerゼータ関数 $\zeta_E(s,x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+x)^s}$ の積分表現および特別値を導出する。有理数における和の閉形式表現を確立し、Euler多項式およびBernoulli多項式と関連づけることで、Dirichletバタ関数およびCatalan定数に関する新しい恒等式が得られる。

ABSTRACT

The Hurwitz-type Euler zeta function is defined as a deformation of the Hurwitz zeta function: \begin{equation*} ζ_E(s,x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+x)^s}. \end{equation*} In this paper, by using the method of Fourier expansions, we shall evaluate several integrals with integrands involving Hurwitz-type Euler zeta functions $ζ_E(s,x)$. Furthermore, the relations between the values of a class of the Hurwitz-type (or Lerch-type) Euler zeta functions at rational arguments have also been given.

研究の動機と目的

• フーリエ級数法を用いて、Hurwitz型Eulerゼータ関数 $\\zeta_E(s,x)$ の積分表現を導出すること。
• 有理数における $\zeta_E(s,x)$ の特別値の間の関係を確立すること。
• フーリエ係数解析を用いて、$\zeta_E(s,x)$ とEuler多項式のモーメントおよび積の閉形式評価を行うこと。
• zeta関数の恒等式を用いて、Dirichletバタ関数 $\beta(2m)$ およびCatalan定数 $G$ の有限閉形式表現を導出すること。
• 関数等式を用いて、古典的Eisenstein型公式をEulerゼータ設定に拡張すること。

提案手法

• 関数 $\zeta_E(s,x)$ のフーリエ展開を用いる：$\zeta_E(s,x) = \frac{2\Gamma(1-s)}{\pi^{1-s}} \sum_{n=0}^\infty \frac{\sin\left((2n+1)\pi x + \frac{\pi s}{2}\right)}{(2n+1)^{1-s}}$（$\operatorname{Re}(s) < 1$、$0 < x \leq 1$）。
• EspinosaとMollの手法を応用し、$[0,1]$ 上で $\zeta_E(s,x)$ と三角関数・指数関数の積の積分を評価する。
• 関数等式および解析接続を用いて、有理数点における値をEuler多項式およびBernoulli多項式と関連付ける。
• 恒等式 $\sum_{r=1}^{m-1} (-1)^r e^{-2\pi i r \alpha / m} \ell_{E,1-n}(r/m) = \frac{(-1)^{n-1}}{4} \left(m^n E_{n-1}(\{2\alpha/m\}) + E_{n-1}(0)\right) - \frac{1}{2n} \left(m^n B_n(\{2\alpha/m\}) + B_n(0)\right)$ を用いて閉形式を導出する。
• フーリエ級数によるBernoulli多項式およびEuler多項式の既知の級数展開を用い、$\zeta_E(s,x)$ を$L$関数の特別値と関連付ける。
• 導出された恒等式と既知の特殊関数恒等式を用いて、$\beta(2m)$ およびCatalan定数 $G$ に対するEuler型公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フーリエ級数展開を用いて、Hurwitz型Eulerゼータ関数の積分表現をどのように導出できるか？
• RQ2 有理数 $x = r/m$ における $\zeta_E(s,x)$ の値の間にはどのような関係が存在するか？
• RQ3 $\zeta_E(s,x)$ とEuler多項式のモーメントおよび積を閉形式で評価できるか？
• RQ4 zeta関数の恒等式を用いて、$\beta(2m)$ およびCatalan定数 $G$ の有限閉形式表現をどのように得られるか？
• RQ5 導出された恒等式は、古典的Eisenstein型公式を有理数における場合にどのように一般化するか？

主な発見

• 本稿は、$\sum_{r=1}^{m-1} (-1)^r e^{-2\pi i r \alpha / m} \ell_{E,1-n}(r/m)$ について、$2\alpha/m$ の分数部分におけるEuler多項式およびBernoulli多項式の値で表される閉形式表現を導出する。
• 本稿は、導出された恒等式を用いて、$\beta(2m)$ が初等関数を用いた有限閉形式で表せることを確立する。
• 本稿は、古典的結果をEulerゼータ設定に拡張する、Dirichletバタ関数 $\beta(2m)$ に対する新しいEuler型公式を提供する。
• Catalan定数 $G$ は、Adamchikがまとめたように、Euler多項式およびBernoulli数を含む有限和として表現される。
• 本手法により、$\zeta_E(s,x)$ を含む積分、三角関数との積の積分、およびゼータ関数のモーメントの明示的評価が得られる。
• 結果として得られる一般化は、古典的Eisenstein公式を、三角関数のコタンジェント項を $\zeta_E(s,x)$ とEuler多項式の和に置き換えることで実現する。