[論文レビュー] Special values of adjoint L-functions and congruences for automorphic forms on GL(n) over a number field

Baskar Balasubramanyam, A. Raghuram|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、数体 $ F $ 上の $ \mathrm{GL}_n $ における特徴的ホロモルフィックカスプ形式的自動形式的表現 $ \pi $ に対して、随伴 L 関数 $ L(1, \mathrm{Ad}^0, \pi, \varepsilon) $ の特別値に関する整数性結果を確立し、この代数的部の分母に含まれる素数（有限個の例外素数を除く）が合同素数であることを証明している。すなわち、それらは同じレベルと重みの自動形式の間の合同関係に対応する。本結果は、ホロモルフィックホモロジー的手法とホイットカー周期を用いて、ハイダとリベットの古典的定理を高ランク $ \mathrm{GL}_n $ へ一般化するものである。

ABSTRACT

We prove an integrality result for the value at s=1 of the adjoint L-function associated to a cohomological cuspidal automorphic representation on GL(n) over any number field. We then show that primes (outside an exceptional set) dividing this special value give rise to congruences between automorphic forms. We also prove a non-vanishing property at infinity for the relevant Rankin-Selberg L-functions on GL(n) x GL(n).

研究の動機と目的

• 任意の数体上の $ \mathrm{GL}_n $ に対して、$ \mathrm{GL}_2 $ の古典的合同定理を一般化すること。
• ホロモルフィックカスプ形式的自動形式的表現 $ \pi $ に関連する随伴 L 関数の特別値 $ L(1, \mathrm{Ad}^0, \pi, \varepsilon) $ の整数性を確立すること。
• この特別値（有限個の例外を除く）を割り切る素数が、同じレベルと重みの自動形式の間の合同関係に対応する、すなわち合同素数であることを証明すること。
• ベッチ–ホイットカー周期と有理ホモロジー類を用いて、随伴 L 関数の代数的部のホロモルフィック的解釈を提供すること。

提案手法

• Rankin–Selberg 積分を用いて $ L(1, \mathrm{Ad}^0, \pi) $ を $ L(s, \pi \times \tilde{\pi}) $ の留数として表現し、ペトロフ内積と関連付ける。
• 局所対称空間 $ S^{G}_{K_f} $ のホモロジーにおけるポアンカレ双対性の応用により、L 値の代数的記述を与える。
• ホイットカー模型上の $ \mathbb{Q}(\pi) $-構造とホモロジー的実現との比較を通じて、ベッチ–ホイットカー周期を構成する。
• カスエルマン–ウォラッチ表現と導来函手を用いて、ホロモルフィックペアリングとホモロジー類の非零性を分析する。
• スンの非零性結果を適応し、アーキメデス的周期が零でないことを保証する。これは整数性定理にとって不可欠である。
• ホモロジー加群の判別式の計算により、代数的 L 値と合同モジュールを関連させ、p-進付値を用いて合同関係を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイダとリベットの $ \mathrm{GL}_2 $ における古典的合同定理は、任意の数体上の $ \mathrm{GL}_n $ へ一般化可能か？
• RQ2 特別値 $ L(1, \mathrm{Ad}^0, \pi, \varepsilon) $ の代数的部は整数的であり、ホロモルフィック不変量で表現可能か？
• RQ3 この代数的 L 値（有限個の例外を除く）を割り切る素数は、同じレベルと重みの自動形式の間の合同関係に対応するか？
• RQ4 ベッチ–ホイットカー周期は、$ \mathrm{GL}_n $ の算術において、自動形式周期とホロモルフィック周期を結ぶ役割を果たすか？
• RQ5 整数性結果を有効にするために、アーキメデス的周期の非零性をどのように保証できるか？

主な発見

• 定理 3.3.7 により、$ L^{\mathrm{alg}}(1, \mathrm{Ad}^0, \pi, \varepsilon) $ は、既知の算術的因子を除き整数的であることが示された。
• 非零性結果（命題 3.3.4）を用いて、アーキメデス的周期 $ \mathfrak{p}_{\infty}(\pi) $ が非零であることが確立され、スンの結果を一般化した。
• 定理 4.3.1 により、有限個の例外素数を除く素数 $ p $ が $ L^{\mathrm{alg}}(1, \mathrm{Ad}^0, \pi, \varepsilon) $ を割り切るならば、$ \pi $ と他の自動形式 $ \pi' $ の間に合同関係が存在する。
• 合同モジュールはホモロジー加群の判別式によって制御され、合同素数は例外素数を除き、代数的 L 値を割り切る素数に一致する。
• ベッチ–ホイットカー周期 $ \mathfrak{p}^\varepsilon(\pi) $ と $ \mathfrak{q}^{\tilde{\varepsilon}}(\tilde{\pi}) $ は $ \mathbb{Q}(\pi) $ 上に有理的であり、その比は代数的 L 値に現れる。
• 次数 $ b+t $ のホロモロジーペアリングは非零であり、$ \varepsilon $ に依存しない。これにより、ホモロジーにおけるグローバル周期類の非零性が保証される。