[論文レビュー] Special values of anticyclotomic L-functions for modular forms

Masataka Chida, Ming-Lun Hsieh|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、高重量（k ≥ 4）の通常のモジュラー形式に対するアーンチクロトミック p-進 L 関数を構成し、重さ 2 の形式に関する先行研究を一般化する。すべての臨界特殊化における補間公式を確立し、関数方程式を証明し、μ 不変量が消えることを示し、特定の条件下でアーンチクロトミック twist を施した中心 L 値が ℓ を法として消えないことを示す。

ABSTRACT

In this article, we generalize some works of Bertolini-Darmon and Vatsal on anticyclotomic L-functions attached to modular forms of weight two to higher weight case. We construct a class of anticyclotomic p-adic L-functions for ordinary modular forms and derive the functional equation and the interpolation formula at all critical specializations. Moreover, we prove results on the vanishing of mu-invariant of these p-adic L-functions and the non-vanishing of central L-values with anticyclotomic twists.

研究の動機と目的

• 重さ 2 のモジュラー形式に限らない、高重量の通常モジュラー形式に対するアーンチクロトミック p-進 L 関数の理論を拡張すること。
• 虚二次体 K のアーンチクロトミック Z_p-拡大上に p-進 L 関数を構成すること。
• 構成された p-進 L 関数のすべての臨界特殊化における補間公式および関数方程式を確立すること。
• p-通常仮説の下で、p-進 L 関数の μ 不変量が消えることを証明すること。
• 適切な条件下で、アーンチクロトミック Hecke 特徴の下での中心 L 値 L(f/K, χ, k/2) が ℓ を法として消えないことを示すこと。

提案手法

• アーンチクロトミックガロア群 Γ⁻ の Iwasawa 環における θ 要素を用いて p-進 L 関数を構成する。
• Jacquet-Langlands 対応を用いて、GL(2) 上のモジュラー形式を定義的四元数代数上の自動形式に関連付ける。
• Gross 点および特別なサイクルの理論を応用し、twist された L 関数の臨界値を補間する θ 要素を定義する。
• ガンマ因子、周期、p-進乗数、局所的根数を含む明示的な補間公式を導出する。
• Taylor-Wiles 法および変形理論を用いて、ヘッケ加群の自由性を証明し、セレマー群の構造を制御する。
• スネーク補題およびコホモロジー計算を用いて、セレマー群を p-進 L 関数の構造およびその特別値と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重さ 2 に限らない、高重量（k ≥ 4）の通常モジュラー形式に対するアーンチクロトミック p-進 L 関数を構成できるか？
• RQ2 すべての臨界特殊化 (m, -m) に対して、p-進 L 関数の補間公式が成り立つか（|m| < k/2）？
• RQ3 構成された p-進 L 関数が満たす関数方程式は何か？
• RQ4 p-進 L 関数の μ 不変量が消える条件は何か？
• RQ5 アーンチクロトミック twist χ に対して、中心 L 値 L(f/K, χ, k/2) が ℓ を法として消えないのはどのようなときか？

主な発見

• すべての臨界 χ（重さ (m, -m）に対して、p-進 L 関数 Θ∞ ∈ Of,λ[[Γ⁻]] が、明示的な周期および p-進乗数を除き、臨界 L 値 L(f/K, χ, k/2) を補間するように構成される。
• 補間公式にはガンマ因子 Γ(k/2 + m)Γ(k/2 - m)、複素周期 Ωf,N⁻、および p の分解型と重さ k に依存する p-進乗数 ep(f, χ) が含まれる。
• p > k - 2 かつ Ap が λ-進単数（p-通常仮説）である限り、p-進 L 関数の μ 不変量は消える。
• p-進アバター χ が臨界であり、ヘッケ体が ℓ で不分岐である限り、中心 L 値 L(f/K, χ, k/2) は ℓ を法として消えない。
• 構成は関数方程式と整合的であり、p-進 L 関数はアーチメデス的および p-進補間性質と整合するようにガロア作用に関して変化する。
• セレマー群のコホモロジー的制御および Iwasawa 環上のヘッケ加群の構造を通じて、θ 要素の ℓ を法とした非消滅が確立される。