[論文レビュー] Special values of automorphic $L$-functions for $GL_{n} imes GL_{n'}$ over CM fields, factorization and functoriality of arithmetic automorphic periods

Jie Lin|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、マイケル・ハリスの算術的自己形式的周期の理論を一般のCM体へ一般化し、それらの局所成分への因子分解を確立する。GL_n × GL_n' に対するCM体上でのL関数の臨界値が、これらの周期によって表現可能であることを証明し、自己形式的インダクションおよび巡回的ベースチェンジにおける関手性を示し、モチーフに対するデリーニの予想と整合することを確認する。

ABSTRACT

Michael HARRIS defined the arithmetic automorphic periods for certain cuspidal representations of $GL_{n}$ over quadratic imaginary fields in his Crelle paper 1997. He also showed that critical values of automorphic L-functions for $GL_{n} imes GL_{1}$ can be interpreted in terms of these arithmetic automorphic periods. In the thesis, we generalize his results in two ways. Firstly, the arithmetic automorphic periods have been defined over general CM fields. We also prove that these periods factorize as products of local periods over infinity places. Secondly, we show that critical values of automorphic $L$ functions for $GL_{n} imes GL_{n'}$ can be interpreted in terms of these automorphic periods in many situations. Consequently we show that the automorphic periods are functorial for automorphic induction and cyclic base change. We also define certain motivic periods if the motive is restricted from a CM field to the field of rational numbers. We can calculate Deligne's period for tensor product of two such motives. We see directly that our automorphic results are compatible with Deligne's conjecture for motives.

研究の動機と目的

• ハリスの理論を二次虚数体から一般のCM体へ拡張すること。
• CM体上でのGL_n × GL_n' に対する臨界L値が、これらの周期によって表現可能であることを証明すること。
• 無限遠点における算術的自己形式的周期の局所成分への因子分解を確立すること。
• 自己形式的インダクションおよび巡回的ベースチェンジの下でのこれらの周期の関手性を示すこと。
• CM体から制限されたQ上のモチーフに対するモチーフ的周期を定義し、デリーニの予想と整合することを検証すること。

提案手法

• 一般のCM体上のコhomologicalかつ共役自己双対な、尖域表現に対する算術的自己形式的周期を定義する。
• ホッジ構造と有理数的ペアリングを用いて、無限遠点上の局所周期の積としてこれらの周期が因子分解されることを証明する。
• シャハディのホイッターアー周期計算とコホモロジー上の有理数的構造を用いて、グローバル周期とL値を関係付ける。
• ベースチェンジおよび自己形式的インダクションの技法を適用し、これらの操作の下での周期の関手性を確立する。
• スペクトルパラメータによって決定される正確な指数を伴い、L関数の特殊値を算術的周期の積と2πiの累乗の形で明示的な公式で得る。
• CM体上のヘッケキャラクターから生じるモチーフのテンソル積のデリーニの周期を計算することで、デリーニの予想との整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術的自己形式的周期は、二次虚数体から任意のCM体へどのように一般化可能か？
• RQ2 算術的自己形式的周期は、無限遠点における局所成分へどのように因子分解されるか？
• RQ3 CM体上でのGL_n × GL_n' に対する臨界L値は、これらの周期によって表現可能か？
• RQ4 算術的自己形式的周期は、自己形式的インダクションおよび巡回的ベースチェンジの下で関手的か？
• RQ5 特殊L値の自己形式的公式は、モチーフに対するデリーニの予想と整合的か？

主な発見

• CM体上でのGL_n × GL_n' に対する臨界L値は、算術的自己形式的周期と2πiの累乗の積として表現され、指数はスペクトルパラメータによって決定される。
• 算術的自己形式的周期は、無限遠点における局所周期の積に因子分解され、重要な構造的性質が確認された。
• 自己形式的インダクションおよび巡回的ベースチェンジの下で周期は関手的であり、グローバルおよび局所成分間の周期関係によって示された。
• r_1 ≡ r_2 (mod 2) のとき、L(1, Π_1 × Π_2) ∼_{E(Π_1)E(Π_2);K} (2πi)^{r_1 r_2} \prod_{j=0}^{r_1} P^{(j)}(Π_1)^{sp(j,Π_1;Π_2)} \prod_{k=0}^{r_2} P^{(k)}(Π_2)^{sp(k,Π_2;Π_1)} が成り立つ。
• r_1 ̸≡ r_2 (mod 2) のとき、L(1/2, (Π_1 ⊗ ψ) × Π_2) ∼_{E(Π_1)E(Π_2)E(ψ);K} (2πi)^{r_1 r_2 / 2} \prod_{j=0}^{r_1} P^{(j)}(Π_1 ⊗ ψ)^{sp(j,Π_1 ⊗ ψ;Π_2)} \prod_{k=0}^{r_2} P^{(k)}(Π_2)^{sp(k,Π_2;Π_1 ⊗ ψ)} が成り立ち、正確な指数はスペクトルパラメータから導かれる。
• 自己形式的結果は、CM体から制限されたQ上のモチーフのテンソル積のデリーニの周期を計算することで、デリーニの予想と整合することが確認された。