[論文レビュー] Special Values of Zeta Functions of Schemes

Stephen Lichtenbaum|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Spec ℤ 上の正則なスキームで、射影的かつ平坦なもののゼータ関数の特別値について、符号および2のべきを除き、特異、de Rham、Weil-étaleモチビックコホモロジー群から構成された複体のオイラー標数の積として表す予想の公式を提示する。この公式は次元 d ≤ 2 においてセールの関数方程式と整合的であり、d > 2 においては既知の予想を仮定することで一般化され、ビリノスキン、ブロッハ＝カト、フォンテーヌ＝ベルリヌーの先行研究を拡張する。

ABSTRACT

Let X be a regular scheme, projective and flat over Spec \mathbb Z. We give a conjectural formula, up to sign and powers of 2, for ζ^*(X,r), the leading term in the series expansion of ζ(X,s) at s=r, in terms of Weil-etale motivic cohomology, singular cohomology, and derived de Rham cohomology. This formula builds on work of Fontaine and Perrin-Riou replacing \mathbb Q_structuers by \mathbb Z-structures. We show that our conjectured formula is compatible with Serre's functional equation for the zeta function of X.

研究の動機と目的

• 正則なスキーム X に対して、Spec ℤ 上に射影的かつ平坦であるようなゼータ関数の特別値 ζ*(X,r) を、符号および2のべきを除き、公式化すること。
• これらの特別値を、整数構造を備えた特異、de Rham、Weil-étaleモチビックコホモロジー群から構成された複体のオイラー標数の積として表現すること。
• 次元 d ≤ 2 のスキームに対して、予想がセールの関数方程式と整合的であることを確立すること。
• エタールモチビックコホモロジーの有限性および双対性に関する未解決の予想を仮定することで、次元 d > 2 に対しても整合性を拡張すること。
• ビリノスキン、ブロッハ＝カト、フォンテーヌ＝ベルリヌー、フラッチ＝モリンの先行予想を統合・精緻化し、無限素数およびレギュレーターのより正確な取り扱いを組み込むこと。

提案手法

• 予想は、ベイリンソンのレギュレーターとアラケロフ交叉ペアリングから導かれる複体のオイラー標数の積として ζ*(X,r) を表現する。
• 特異、de Rham、Weil-étaleモチビックコホモロジー群の変種を用いて、整数構造を備えた複体を構成する。
• 特殊値と複体のオイラー標数との関係を示すブロッハ＝カト＝セイトの定理に依拠する。
• ベイリンソンのレギュレーター写像とその行列式を用いて特別値の公式を定義し、ねじれおよび2のべき因子に対する補正項を導入する。
• 局所的解析を避ける代わりに無限素場に焦点を当てることで、以前の局所積に基づくアプローチよりも概念的である。
• ζ(X,s) のℂへのメロモルフィック続行、エタールモチビックコホモロジーの有限生成性、および H^{2r+1}_{ét}(X,ℤ(r)) と H^{2(d−r)+1}_{ét}(X,ℤ(d−r)) の間の双対性を仮定することで、関数方程式との整合性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Spec ℤ 上の正則スキームのゼータ関数特別値は、符号および2のべきを除き、どのようにモチビックコホモロジーとレギュレーターで表現できるか？
• RQ2 dim X ≤ 2 のとき、提案された予想がセールの関数方程式とどの程度整合的か？
• RQ3 次元 d > 2 に整合性を拡張するための条件は何か？ これらは既存の文献における予想とどのように関係するか？
• RQ4 提案された公式は、ビリノスキン、ブロッハ＝カト、フォンテーヌ＝ベルリヌー、フラッチ＝モリンの先行予想とどのように関係するか？
• RQ5 個々のコホモロジー群ではなく複体のオイラー標数を用いることで、コホモロジーにおけるねじれに関する問題はどのように解決されるか？

主な発見

• d ≤ 2 のスキームに対して、ブロッハ＝カト＝セイトの定理とエタールコホモロジーにおける双対性を仮定すると、予想はセールの関数方程式と整合的である。
• d > 2 に対しては、2つの未解決の予想——具体的には H^{2r+1}_{ét}(X,ℤ(r)) の有限性および H^{2(d−r)+1}_{ét}(X,ℤ(d−r)) とのポンティリニ双対性——を仮定することで整合性が成立する。これらは d ≤ 2 の場合に既知に成り立つ。
• 予想は、r ≤ 0 の場合のビリノスキンの公式および重み j−2r ≤ −3 の場合のブロッハ＝カトの公式を、すべての整数 r に一般化し、拡張する。
• 公式は、|K_{2r−2}(O_F)| / |K_{2r−1}(O_F)_{tor}|、レギュレーター行列式 R_r、(2πi)^{rs(r)} と d_F^{r−1/2} を含む積として ζ*(X,r) を表し、2-ねじれを除いて成り立つ。
• r=1 のとき、予想はヤコビアンのためのバーチ＝スウィンナートン＝ダイヤー予想と同値であることが示され、ラマチャンドランおよびフラッチ＝ジークベルトの結果を拡張する。
• 導来外冪構成 λ^k(Ω) が導来圏において Ω[k−1] に同型であることが示され、判別式 d_F とレギュレーター寄与の観点からオイラー標数の計算が可能になる。